Kommutierende Matrizen, exp, Gegenbeispiel

17.05.2017, 19:53

Captcha

Kommutierende Matrizen, exp, Gegenbeispiel

Hallo zusammen,

a) Seien $\begin{eqnarray*} A,B \in R^{nxn} \end{eqnarray*}$ zwei kommutierende Matrizen.

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} exp(A) \cdot exp(B) = exp(A+B) \end{eqnarray*}$

Das habe ich mithilfe binomischen Formel und Causchen Produktformel bewiesen.
Jetzt muss ich aber zeigen, dass die obige Identität für :

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nicht gilt.

Da bin ich etwas verwirrt, ich habe es so gelöst:

$\begin{eqnarray*} exp(A+B) = exp(\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}) = exp(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} e & e\\ e & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} exp(A) \cdot exp(B) = \begin{pmatrix} 0 & e\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & 0\\ e & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e^2 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre das Richtig?

17.05.2017, 20:28

Helferlein

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Ihr habt aber doch nicht $\begin{align*} exp(A)=eA \end{align*}$ definiert, oder?

18.05.2017, 09:29

Captcha

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Nein, $\begin{eqnarray*} exp(A) = e^A \end{eqnarray*}$ .

Wäre dann $\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$ ?

Wir haben diagonalisierte Matrizen berechnet, unter anderem :

$\begin{eqnarray*} exp(M) = exp(ADA^{-1}) = A \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & 0\\ 0 & e^{\lambda_n} \end{pmatrix}A^{-1} \end{eqnarray*}$

darum habe ich da auch 0 eingesetzt...

Ich überhaupt die Idee richtig?

18.05.2017, 12:50

Huggy

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Für eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} e^X \end{eqnarray*}$ definiert als:

$\begin{eqnarray*} e^X=\sum_{n=0}^\infty \frac{X^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Mit dieser Definition lässt sich $\begin{eqnarray*} e^A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^B \end{eqnarray*}$ und danach $\begin{eqnarray*} e^A\cdot e^B \end{eqnarray*}$ leicht berechnen, weil die Potenzen $\begin{eqnarray*} A^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B^n \end{eqnarray*}$ leicht berechenbar sind.

Die Berechnung von

$\begin{eqnarray*} e^C=e^{(A+B)} \end{eqnarray*}$

mittels obiger Definition ist nicht ganz so einfach. Relativ einfach ist es jedoch, mittels dieser Definition zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} e^A\cdot e^B \neq e^C \end{eqnarray*}$

Alternativ könnte man $\begin{eqnarray*} e^C \end{eqnarray*}$ über die Eigenwerte und Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ berechnen. Dazu müsstest du diese Berechnungsmethode aber erst mal sauber und korrekt hinschreiben.

18.05.2017, 14:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Die Berechnung von

$\begin{eqnarray*} e^C=e^{(A+B)} \end{eqnarray*}$

mittels obiger Definition ist nicht ganz so einfach.

Wer ist dennoch mal versuchen will: Als Zwischenresultat bekommt man

$\begin{align*} (A+B)^n = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix} \end{align*}$

mit Fibonacci-Folge $\begin{align*} F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \end{align*}$ . Mit der Binetformel $\begin{align*} F_n = \frac{\lambda_1^n-\lambda_2^n}{\lambda_1-\lambda_2} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \lambda_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*}$ bekommt man dann auch über die Exponentialreihe eine explizite (=summensymbolfreie) Darstellung von $\begin{align*} e^{A+B} \end{align*}$ . Augenzwinkern

18.05.2017, 14:59

Captcha

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$\begin{eqnarray*} exp(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 1/2 \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} exp(B) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 1/2 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 1/3 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = ??? \end{eqnarray*}$

Was bedeutet n in dieser Formel? Ist n=2, weil die Matrix 2x2 ist ?

18.05.2017, 15:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Captcha
$\begin{eqnarray*} exp(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 1/2 \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Original von Captcha
$\begin{eqnarray*} exp(B) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 1/2 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + 1/3 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der letzte Summand ist falsch. Richtig geht es so weiter:

$\begin{eqnarray*} \exp(B) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} + 1/2 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} + 1/6 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} + \ldots = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e-1 & 0\\ e-1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e & 0\\ e-1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

18.05.2017, 16:51

Captcha

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$\begin{eqnarray*} exp(A) \cdot exp(B) = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & 0\\ e-1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2e-1 & 1\\ e-1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich versucht $\begin{eqnarray*} exp(A+B) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, aber da die Matrizen nicht kommutieren, darf ich die binomische Formel nicht anwenden.. Ich brauche ein Tip, wie man $\begin{eqnarray*} e^c \neq e^a \cdot e^b \end{eqnarray*}$ zeigen kann..

18.05.2017, 17:06

Captcha

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darf man einfach A und B addieren und dann von der Summe Exponentiell berechnen ?

18.05.2017, 17:57

Huggy

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Sei $\begin{eqnarray*} C=A+B \end{eqnarray*}$ . Durch vollständige Induktion kann man zeigen

$\begin{eqnarray*} C^n=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a,b,c \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \geq 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 3 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgert man leicht

$\begin{eqnarray*} e^C_{12} \neq 1 \end{eqnarray*}$

18.05.2017, 19:49

HAL 9000

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In dem Zusammenhang hatte ich ja oben schon

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} (A+B)^n = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix} \end{align*}$

mit Fibonacci-Folge $\begin{align*} F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \end{align*}$ .

angegeben, was auch nicht signifikant schwerer nachzuweisen ist. Augenzwinkern

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