Komplexe Zahlen. Zu zeigen: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0.

17.05.2017, 21:11

Resel

Komplexe Zahlen. Zu zeigen: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0.

Meine Frage:
Hallo!
Ich weiß leider nicht genau, wie ich folgende Aufgabe lösen soll.

Zeigen Sie: Für $\begin{eqnarray*} z\in C \end{eqnarray*}$ (wobei C := Komplexe Zahlen), z $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0, gilt genau dann $\begin{eqnarray*} Re(z+\frac{1}{z}) = 0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} Re(z) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Mir ist bewusst, dass dies eine "genau dann, wenn"-Aussage ist und man somit beide Seiten zeigen muss.
Alles was ich über den Realteil weiß ist, dass Re(z) = 1/2(z+zquer). Aber irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter.

17.05.2017, 21:17

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RE: Komplexe Zahlen. Zu zeigen: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0.
Genau damit kommt man aber durch. Also schreib dir $\begin{eqnarray*} Re(z+\frac{1}{z}) \end{eqnarray*}$ so hin, forme um und es steht da.

17.05.2017, 21:37

Resel

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RE: Komplexe Zahlen. Zu zeigen: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0.
Dann muss ich irgendwo wahrscheinlich einen Denkfehler haben.

Wenn ich es mir richtig überlegt habe, wäre ja dann
$\begin{eqnarray*} Re(\frac{1}{z}) = \frac{2}{z+zquer} \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} Re(z+\frac{1}{z}) = (\frac{1}{2}(z+zquer)) + (\frac{2}{z+zquer}). \end{eqnarray*}$ Da Re(z) = 0 dann $\begin{eqnarray*} = 0 + (\frac{2}{z+zquer}). \end{eqnarray*}$
Aber ich weiß nicht, was ich da jetzt falsch gemacht habe oder ob ich einfach nur irgendwas übersehe.

17.05.2017, 21:51

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RE: Komplexe Zahlen. Zu zeigen: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Re(\frac{1}{z}) = \frac{2}{z+zquer} \end{eqnarray*}$

kann nicht stimmen, weil die rechte Seite nie Null werden kann, die linke aber schon.

17.05.2017, 22:14

Resel

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RE: Komplexe Zahlen. Zu zeigen: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0.
Aber $\begin{eqnarray*} Re(z) = \frac{1}{2} \cdot (z + zquer) \end{eqnarray*}$ . Dann muss doch eigentlich $\begin{eqnarray*} Re(\frac{1}{z}) = \frac{1}{(\frac{1}{2} \cdot (z + zquer))} = \frac{1}{\frac{z + zquer}{2}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{z + zquer} \end{eqnarray*}$ sein?
Ich sehe leider meinen Fehler nicht. Hammer

17.05.2017, 22:32

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RE: Komplexe Zahlen. Zu zeigen: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0.

Zitat:

Original von Resel
Dann muss doch eigentlich [...] sein?

und warum sollte das so sein? Im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} Re(ab)\neq Re(a)Re(b) \end{eqnarray*}$

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Komplexe Zahlen. Zu zeigen: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0.

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