Lineare Optimierung - Nebenbedingungen aus dem Text erfassen

18.05.2017, 12:22

johanna95

Lineare Optimierung - Nebenbedingungen aus dem Text erfassen

Meine Frage:
"Mein Garten" ist eine Firma, die unter anderem zwei Sorten von Düngemitteln produziert und verkauft: Die Sorte "Perfekter Rasen" und die Sorte
"Super Rasen". Zur Herstellung beider Sorten benötigt man jeweils die drei
Rohstoffe M1, M2 und M3 in verschiedenen Mengen. Für die Herstellung von 1 kg "Perfekter Rasen" braucht man 2 kg von M1, 1 kg von M2 und 2 kg von M3 und für die Herstellung von 1 kg "Super Rasen" braucht man
3 kg von M1, 2 kg von M2 und 1 kg von M3. Während der nächsten Woche
kann die Firma höchstens 1500 kg vom Rohstoff M1, 1200 kg von M2
und 1300 kg von M3 verarbeiten. Die Firma erzielt einen Gewinn von
5 Euro pro 1 kg beim Verkauf von "Perfekter Rasen" und 8 Euro pro 1 kg
beim Verkauf von "Super Rasen". Für die nächste Woche hat die Firma
allerdings eine Bestellung von 100 kg der Sorte "Perfekter Rasen" bereits
erhalten und die Lieferung zugesichert.
Wie viel Kilogramm soll die Firma von jeder Sorte Düngemitteln nächste
Woche herstellen, damit sie einen Maximum an Gewinn erzielt? Es wird
vorausgesetzt, dass sie die gesamte produzierte Menge verkauft.
Lösen Sie die Aufgabe mit dem Simplexalgorithmus.
Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe zuerst ohne die Vorbestellung zu berücksichtigen und optimieren Sie ggf. nach.

Meine Ideen:
Ich möchte nicht wissen, wie man das mit Simplex löst, sondern nur die Bedingungen erfahren, also Zielfunktion und Nebenbedingungen. Weil wenn die falsch sind, dann ist die gesamte Lösung falsch unglücklich

Also ich habe jetzt:

Perfekter Rasen: $\begin{eqnarray*} 1 = 2m_1 + m_2 + 2m_3 \end{eqnarray*}$
Super Rasen: $\begin{eqnarray*} 1 = 3m_1 + 2m_2 + m_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_1 \leq 1500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_2 \leq 1200 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_3 \leq 1300 \end{eqnarray*}$

Zielfunktion: $\begin{eqnarray*} G = 1500m_1 + 1200m_2 + 1300m_3 \rightarrow max \end{eqnarray*}$

18.05.2017, 12:55

Elvis

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Die ersten beiden Gleichungen sind falsch, auf der linken Seite kann nicht 1 stehen. Die Zielfunktion ist falsch, da müssen die erlöse 5 und 8 (Euro) eingehen. Sobald du die beiden Mischungsgleichungen korrigiert hast, wirst du sehen, wie die Zielfunktion aussehen muss. Mich wundert, dass der Massenerhaltungssatz (äquivalent zum Energieerhaltungssatz der Physik) in dieser Firma "Mein Garten" nicht gilt.

18.05.2017, 17:19

johanna951

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Zitat:

Original von Elvis
Die ersten beiden Gleichungen sind falsch, auf der linken Seite kann nicht 1 stehen. Die Zielfunktion ist falsch, da müssen die erlöse 5 und 8 (Euro) eingehen. Sobald du die beiden Mischungsgleichungen korrigiert hast, wirst du sehen, wie die Zielfunktion aussehen muss.

Ich hoffe es ist jetzt nicht noch falscher geworden traurig

Nebenbedingungen:
$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2 \leq 1500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1+2x_2 \leq 1200 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2 \leq 1300 \end{eqnarray*}$

Zielfunktion:
$\begin{eqnarray*} G = 5x_1+8x_2 \end{eqnarray*}$

18.05.2017, 18:16

Elvis

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Leider ist es noch falscher geworden, ich bin mir nur nicht sicher, ob falsch des Komparativs mächtig ist.

Könnten wir uns vielleicht zunächst darauf verständigen, wie die Aufgabenstellung wirklich ist ? Ich glaube immer noch nicht, dass aus 5 kg der Materialien x1,x2,x3 1 kg des Produkts y1 oder aus 6 kg der Materialien x1,x2,x3 1 kg des Produkts y2 wird. Hinweis: In dieser zu klärenden Frage ist auch schon die halbe Antwort auf alle deine weiteren Fragen versteckt.

18.05.2017, 18:40

johanna95

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Zitat:

Original von Elvis
Leider ist es noch falscher geworden, ich bin mir nur nicht sicher, ob falsch des Komparativs mächtig ist.

Könnten wir uns vielleicht zunächst darauf verständigen, wie die Aufgabenstellung wirklich ist ? Ich glaube immer noch nicht, dass aus 5 kg der Materialien x1,x2,x3 1 kg des Produkts y1 oder aus 6 kg der Materialien x1,x2,x3 1 kg des Produkts y2 wird. Hinweis: In dieser zu klärenden Frage ist auch schon die halbe Antwort auf alle deine weiteren Fragen versteckt.

Ach so, ich würde dann das " $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ " jeweils mit einem " $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ " ersetzen.
Das würde dann auch mehr Sinn ergeben.

Also
$\begin{eqnarray*} 2m_1+m_2+2m_3 \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3m_1+2m_2+m_3 \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_1 \leq 1500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_2 \leq 1200 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m_3 \leq 1300 \end{eqnarray*}$

18.05.2017, 19:16

Elvis

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Wenn du meinen Hinweis nicht verstehst, was ich wiederum nicht verstehe, gebe ich ihn dir im Klartext. Der richtige Ansatz für deine vermutlich falsche Aufgabe ist

$\begin{eqnarray*} y_1=2m_1+1m_2+2m_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_2=3m_1+2m_2+1m_3 \end{eqnarray*}$

Die m's sind Materialien in kg. Die y's sind Produkte in kg, die du verkaufen kannst.

22.05.2017, 20:23

zwergz

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Zitat:

Mich wundert, dass der Massenerhaltungssatz (äquivalent zum Energieerhaltungssatz der Physik) in dieser Firma "Mein Garten" nicht gilt.

Soll auch Produkte geben, die zu ihrer Herstellung mehr Rohmaterialien brauchen, als dann ihr eigenes Gewicht beträgt. Spontan fällt mir da Beef Jerky ein Big Laugh

Zitat:

Nebenbedingungen: $\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2 \leq 1500 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_1+2x_2 \leq 1200 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2 \leq 1300 \end{eqnarray*}$ Zielfunktion: $\begin{eqnarray*} G = 5x_1+8x_2 \end{eqnarray*}$

ist doch gut, mach mal simplex damit.

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