Nach x auflösen

18.05.2017, 14:07

Einstein98

Nach x auflösen

Hallo,
ich soll bei nachfolgendem Term das Newton Verfahren anwenden, d.h. ich muss erst mal nach 0 auflösen. Allerdings sind mir 2 Ansätze eingefallen, von denen aber nur einer stimmen kann, weil ich auf ein anderes Ergebnis komme.

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{x \cdot (1 - ln(x))^2} \end{eqnarray*}$

1. Ansatz:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{x \cdot (1 - ln(x))^2}| -x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{x \cdot (1 - ln(x))^2} - x \end{eqnarray*}$

2. Ansatz:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{x \cdot (1 - ln(x))^2} | \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{x^2 \cdot (1 - ln(x))^2} | \cdot x^2 \cdot (1 - ln(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = {x^2 \cdot (1 - ln(x))^2} | - 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = {x^2 \cdot (1 - ln(x))^2} - 1 \end{eqnarray*}$

Welcher von beiden ist der Richtige? Ich glaube ich stehe gerade auf den Schlauch Hammer

Wäre für jede Hilfe dankbar!

Mfg Einstein98

18.05.2017, 14:12

IfindU

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RE: Nach x auflösen
Aus analytischer Sicht sind beide äquivalent (für die natürliche Definitionsmenge für x).

Aus numerischer Sicht wirkt das zweite deutlich angenehmer.

19.05.2017, 13:17

HAL 9000

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Die Gleichung ist äquivalent zu $\begin{align*} x^2(1-\ln(x))^2=1 \end{align*}$ , und deren Lösungsmenge ist die Vereinigung der Lösungen von $\begin{align*} x(1-\ln(x))=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} x(1-\ln(x))=-1 \end{align*}$ , kurz $\begin{align*} x(1-\ln(x))=\pm 1 \end{align*}$ . Jeder der beiden Zweige weist genau eine reelle Lösung auf, die vom +Zweig ist $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ , die vom -Zweig ist über numerische Näherungsverfahren berechenbar, oder aber unter Zuhilfenahme der Lambert-W-Funktion sogar explizit angebbar.

21.05.2017, 23:36

Einstein98

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Ich verstehe den Begriff "äquivalent" nicht ganz. Das heißt ja soviel wie "gleich".
Aber wenn ich beim ersten Term für x irgend eine Zahl einsetze kommt etwas anderes raus wie wenn ich diese Zahl beim 2. Term einsetze.

Zum Beispiel:
Term1:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5,5 \cdot (1 - ln(x))^2} - 5,5 = -5,13 \end{eqnarray*}$

Term 2:

$\begin{eqnarray*} {5,5^2 \cdot (1 - ln(5,5))^2} - 1 = 14,0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5,13 \neq 14,0 \end{eqnarray*}$

Wie könnt ihr dann sagen, dass diese beiden Terme äquivalent sind?

22.05.2017, 00:46

Dopap

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Deine Gleichung hat eine Lösungsmenge. Zu deutsch : es ist eine Bestimmungsgleichung.

und eine Lösungsmenge reicht von $\begin{eqnarray*} \{ \} \end{eqnarray*}$ bis hin zur Grundmenge.

Gleichungen die dieselbe Lösungsmenge haben sind äquivalent

$\begin{eqnarray*} x=x \Leftrightarrow x=\frac xx \end{eqnarray*}$ sofern die Grundmenge keine Null enthält !

----------------------------------------
nach x auflösen gefällt mir gar nicht. Hört sich so an, als ob das immer möglich wäre.
Schon eine quadratische Gleichung ist nicht so ganz einfach "aufzulösen"

22.05.2017, 00:55

Helferlein

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Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} x=x \Leftrightarrow x=\frac xx \end{eqnarray*}$ sofern die Grundmenge keine Null enthält !

Hast Du Dich da nicht irgendwie verschrieben? Die beiden Gleichungen sind nur dann äquivalent, wenn die Grundmenge ausschließlich die 1 enthält.

22.05.2017, 01:01

Dopap

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sorry, natürlich $\begin{eqnarray*} x=\frac{ x^2}{x} \end{eqnarray*}$

28.05.2017, 13:47

triangle

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Frage zu einer einfachen Dreiecksberechnung
Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit Triangulation und möchte eine fehlende Strecke in einem Dreieck berechnen (Skizze befindet sich im Anhang).

Ich hatte die Idee mit Hilfe des Tangens den Winkel zwischen der Hypotenuse und der zu ermittelenden Strecke $\begin{eqnarray*} $A$ \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Ich komme dann auf
$\begin{eqnarray*} $tan(\alpha) = \frac{A}{B} $ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $A = B \cdot tan(\alpha) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} $\alpha= arctan(\frac{c}{d} )$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $A = B \cdot tan( arctan(\frac{c}{d})) = B \cdot \frac{c}{d} $ \end{eqnarray*}$

Stimmt das so oder muss man es anders machen?

Vielen Dank im Voraus! Wink

28.05.2017, 13:53

triangle

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Oh jetzt habe ich es in ein anderes Thema gepostet und auch noch den Tangens falsch geschrieben. Finger1

Tut mir sehr leid, bitte löschen.
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