Minimalpolynom und Automorphismus

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Studentu Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom und Automorphismus
Hallo Community,

gesucht ist das Minimalpolynom von über .
Danach soll (mit Begründung) ein Körper angegeben werden, sodass in K liegt und es einen Automorphismus mit gibt.

Zum Minimalpolynom habe ich mir überlegt, dass .
Ich behaupte nun, dass das gesuchte Minimalpolynom ist. Zum Beweis zeige ich
1.)
2.) es gibt kein Polynom niedrigeren Grades über , das auf Null abbildet
Wie zeige ich 2.)? Ich habe versucht, Eisenstein anzuwenden, aber das geht ja nicht, weil die Voraussetzung nicht erfüllt ist?

Zum Körper und dem Automorphismus habe ich leider gar keine Idee.
Kennt sich da jemand von euch aus?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
Ich habe versucht, Eisenstein anzuwenden, aber das geht ja nicht, weil die Voraussetzung nicht erfüllt ist?

Von welcher nicht erfüllten Voraussetzung sprichst du? verwirrt
 
 
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es ein irreduzibles mit "p teilt nicht 1", "p teilt 4", "p teilt 2" und " teilt nicht 2" geben müsste.

Weil das Eisenstein-Kriterium lautet meines Wissens "Sei R ein faktorieller Ring. Ist mit Grad 1 ein primitives Polynom und irreduzibel mit "p teilt nicht ", "p teilt für i=0, ..., n-1" und " teilt nicht ", dann ist f irreduzibel in R."
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und erfüllt für alle diese Voraussetzungen, das Kriterium kann somit angewandt werden!

P.S.: Entschuldige die späte Antwort, hatte den Thread aus den Augen verloren.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal, danke für deine Hilfe! Ich habe erst jetzt gesehen, dass du doch noch geantwortet hast und werde nun versuchen, das mit dem Kriterium zu lösen, dann melde ich mich wieder. smile
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist jetzt wieder eingefallen, weshalb ich gemeint habe, dass Eisenstein nicht anwendbar ist:
Das Polynom muss ja primitiv sein und dazu müssen per Definition die Koeffizienten teilerfremd sein. Das ist aber doch für den Koeffizienten von x^2 (nämlich -4) und den von x^0 (nämlich -2) nicht erfüllt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
Das Polynom muss ja primitiv sein und dazu müssen per Definition die Koeffizienten teilerfremd sein.

Müssen sie dazu wirklich paarweise (!) teilerfremd sein. Denn teilerfremd sind sie ja.

Insgesamt muss hier aber ein kompetenter Algebraiker ran, ich hab von sowas so gut wie keine Ahnung.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass du dich trotzdem um die Lösung bemühst, wenn das offenbar sonst nicht so dein Gebiet ist!

Du hast jedenfalls völlig Recht, es darf nur keinen gemeinsamen Teiler aller Koeffizienten geben, der keine Einheit ist.
Also wenden wir das Eisenstein-Kriterium an, wonach das Polynom primitiv ist. Das das Polynom primitiv ist, gibt es kein Polynom niedrigeren Grades, das auf Null abbildet. Demnach ist das Polynom das gesuchte Minimalpolynom.

Für den Körper und den Automorphismus habe ich leider bislang noch immer keine Idee, weißt du da weiter, Hal?
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, hat denn jemand eine Idee zum gesuchten Körper und Automorphismus?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin, wie HAL, kein Algebraiker, daher mit Vorsicht genießen.

Das Minimalpolynom hat die 2 reellen Nullstellen und die zwei Komplexen . Damit sollte der gesuchte Körper sein.

Der Automorphismus wird entweder und miteinder tauschen muessen, oder mit und mit . Da müsstest du mal gucken.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!
Sie ist mir noch nicht klar, aber ich werde vorher noch selber darüber nachdenken und sie zu verstehen versuchen, bevor ich mich wieder melde. verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist sicher eine interessante kleine Lektüre: https://web.math.rochester.edu/people/fa...10/quartics.pdf

Darüber hinaus empfehle ich (für Anfänger und Fortgeschrittene) Armin Leutbecher "Zahlentheorie - Eine Einführung in die Algebra" Springer 1996.

Wer sich professionell für die (Weiter-)Entwicklung der Zahlentheorie im 20. Jahrhundert interessiert, soll mit David Hilbert anfangen ( http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ )
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Lektüren, Elvis!

Ich glaube, ich habe nun endlich verstanden, wie IfindU auf den Körper gekommen ist.
Man muss einfach die Nullstellen des Minimalpolynoms bestimmen und da dann den Erweiterungskörper bilden. Und da etwa der Erweiterungskörper zwar auch schon beinhaltet, aber weder noch , muss man eines davon auch noch extra dazu angeben. Man könnte also eigentlich einen der folgenden vier Erweiterungskörper angeben (die de facto eh alle genau dieselben Elemente beinhalten):

Ist das korrekt?

Das mit den Automorphismen muss ich mir erst noch anschauen.

Mir sind allerdings Zweifel bzgl. der Anwendung des Eisenstein-Kriteriums gekommen. Denn in dem Kriterium darf ja kein Teiler von sein, aber bei uns ist p=2 und und in ist doch ein Teiler von -2?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Eisenstein-Kriterium kann es nur um Teilbarkeit im Ring der ganzen Zahlen gehen. Im Körper der rationalen Zahlen ist jedes Element ungleich 0 Teiler jeder rationalen Zahl.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis, danke! Das verwirrt mich ein bisschen. Denn in unserem Skript lautet das Eisenstein-Kriterium
Zitat:
"Sei R ein faktorieller Ring. Ist mit Grad 1 ein primitives Polynom und irreduzibel mit "p teilt nicht ", "p teilt für i=0, ..., n-1" und " teilt nicht ", dann ist f irreduzibel in R."

Und nun möchte ich das Minimalpolynom von über finden.
Wo mache ich da einen Denkfehler, wenn ich mir dann die Teiler in anschaue bzw. woher weiß ich, dass ich die in , also einem kleineren faktoriellen Ring, anschauen muss?

Die Frage erledigt sich zwar, wenn ich mit dem Wissen, dass der Quotientenkörper von ist, den Satz "Ein primitives Polynom R[x] ist genau dann irreduzibel in R[x], wenn es irreduzibel in Q[x] ist, wobei Q der Quotientenkörper von R ist." anwende, aber mich würde trotzdem interessieren, wo da bei Anwendung von Eisenstein über mein Denkfehler liegt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Den entscheidenden Satz kennst du offensichtlich. Ein Körper ist kein faktorieller Ring, das habe ich schon begründet. Beispiel: 7 ist wegen keine rationale Primzahl. In Körpern spricht man nicht von Teilbarkeit, weil jede Zahl durch jede von 0 verschiedene Zahl teilbar ist. Wo man nicht von Teilbarkeit reden kann, kann man nicht von faktoriell reden und nicht von Primelementen, da hat Eisenstein keine Macht.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deine Ausführungen sind einleuchtend.
Ich dachte nur, dass es ein faktorieller Ring sein muss, weil wir gelernt haben, dass Körper euklidische Ringe sind und jeder euklidische Ring ein Hauptidealring ist und jeder Hauptidealring ein faktorieller Ring...

Zitat:
Ich glaube, ich habe nun endlich verstanden, wie IfindU auf den Körper gekommen ist.
Man muss einfach die Nullstellen des Minimalpolynoms bestimmen und da dann den Erweiterungskörper bilden. Und da etwa der Erweiterungskörper zwar auch schon beinhaltet, aber weder noch , muss man eines davon auch noch extra dazu angeben. Man könnte also eigentlich einen der folgenden vier Erweiterungskörper angeben (die de facto eh alle genau dieselben Elemente beinhalten):

Ist das korrekt?

Kannst du darauf bitte auch noch eingehen?
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