Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen

18.05.2017, 19:03	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen Hey Leute, ich habe hier ein Problem und komme einfach nicht drauf: Ich soll folgende rationale Funktion in Q(x) zerlegen: $\begin{eqnarray} \frac{x+2}{x^8-x^7+x^6-x^2+x-1} \end{eqnarray}$ im speziellen sollte man das mittels irreduziblen Faktoren des Nenners machen: $\begin{eqnarray} \frac{x+2}{(x-1)(x+1)(x^2-x+1)^2(x^2+x+1)^2} \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich aus der Vorlesung, dass um die Zähler der Partialbrüche mit Nenner zb (x-1) zu erhalten, ich die allgemeine Lösung mit (x-1) multiplizieren muss und dann 1 einsetzen: $\begin{eqnarray} \frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x^2-x+1)^2(x^2+x+1)^2}=c1 \end{eqnarray}$ ... alle anderen Brüche mit c2(x-1)/(x+1) +... fallen weg, da man 1 einsetzt. so erhalte ich also diese Koeffizienten. Wie gehe ich aber nun vor, wenn ich die Zähler jener Brüche ermitteln will, wo zb (x^2-x+1) im Nenner steht? Vielen Dank und LG
18.05.2017, 22:59	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen Hallo, ich habe erhalten: $\begin{eqnarray} \frac{x+2}{(x-1)(x+1)(x^2-x+1)^2 (x^2+x+1)} \end{eqnarray}$ Nun kannst Du einen Koeffizientenvergleich (kompliziert) machen oder das Ganze mit der Einsetzmethode lösen. Bei der Einsetzmethode kannst Du dann 1 und -1 wählen. Die anderen Werte sind frei wählbar. Du bekommst dann ein lineares Gleichungssystem. Die komplexe Rechnung würde ich hier nicht empfehlen. Ansatz : $\begin{eqnarray} \frac{x+2}{(x-1)(x+1)(x^2-x+1)^2 (x^2+x+1)} =\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+1} +\frac{Cx+D}{(x^2-x+1)^2} +\frac{Ex+F}{x^2-x+1} +\frac{Gx +H}{x^2+x+1} \end{eqnarray}$
20.05.2017, 14:42	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen das 1 und -1 einsetzen geht ja nur für die Koeffizienten A und B oder? Anschließend muss ich quasi einen Koeffizientenvergleich machen.?
20.05.2017, 20:13	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen Du multiplitzierst mit dem Hauptnenner. Wenn Du -1 und 1 einsetzt , kommst Du direkt auf die beiden Werte. Dann erfindest Du 6 einfache Werte für x und bekommst ein Gleichungssystem , was Du lösen kannst.
21.05.2017, 12:28	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung von rationalen Funktionen ach herrje ist das ein aufwand haha Vielen Dank!

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