Beweis arithmetische Funktion und Summatorfunktion

19.05.2017, 19:26

Ezyan

Beweis arithmetische Funktion und Summatorfunktion

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich sitze an folgender Aufgabe und weiß leider nicht weiter.
Bitte um Hilfe.

Meine Ideen:
-

20.05.2017, 09:38

Elvis

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Die für die Lösung dieser Aufgabe notwendigen Definitionen stehen sicher in dem Buch oder Skript, in dem die Aufgabe steht. Da hilft nichts, da musst du lesen und verstehen. Wenn das nicht klappt, musst du alle notwendigen Definitionen hier bereitstellen, damit Helfer lesen und verstehen können.
Wenn ich das richtig interpretiere, musst du ja nur a) beweisen, denn b) folgt sofort daraus.

22.05.2017, 15:41

Ezyan

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Vielen Dank, für die Rückmeldung. Ich schaue mir die Definitionen an und verstehe es nicht ganz. Habe sie einmal hochgeladen. Danke schon einmal

22.05.2017, 16:23

HAL 9000

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Ist doch eigentlich klar und deutlich angegeben: Für positive ganze Zahlen $\begin{align*} z \end{align*}$ wird $\begin{align*} \beta_{\alpha}(z) := \sum_{d\mid z} \alpha(d) \end{align*}$ als zu $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ gehörende summatorische Funktion definiert. Die Summe erstreckt sich dabei über alle positiven Teiler $\begin{align*} d \end{align*}$ von $\begin{align*} z \end{align*}$ .

Betrachten wir nun a), da geht es speziell nur um $\begin{align*} z \end{align*}$ in der Forme von Primzahlpotenzen:

Da hat $\begin{align*} z=p^n \end{align*}$ genau die positiven Teiler $\begin{align*} 1, p, p^2, \ldots, p^{n-1}, p^n \end{align*}$ . Alle diese Teiler mit Ausnahme des letzten (also $\begin{align*} p^n \end{align*}$ selbst) hat auch bereits die um einen Exponenten kleinere Potenz $\begin{align*} p^{n-1} \end{align*}$ , also ist im Sinne der Definition der summatorischen Funktion einfach

$\begin{align*} \beta_{\alpha}(p^n) = \sum_{k=0}^n \alpha(p^k) = \beta_{\alpha}(p^{n-1}) + \alpha(p^n) \end{align*}$ .

P.S.: Solltet ihr die Dirichlet-Faltung * bereits eingeführt haben, dann kann man kurz und knapp $\begin{align*} \beta_{\alpha} := 1 * \alpha \end{align*}$ definieren, mit Konstantfunktion 1.

22.05.2017, 16:36

Ezyan

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Hallo erst einmal vielen Dank. Ja die Dirichlet-Faltung hatten wir, aber was hat diese damit zu tun? Und b) folgt daraus?

22.05.2017, 16:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ezyan
Ja die Dirichlet-Faltung hatten wir, aber was hat diese damit zu tun?

Hab ich das nicht gerade gesagt?

Zitat:

Original von HAL 9000
dann kann man kurz und knapp $\begin{align*} \beta_{\alpha} := 1 * \alpha \end{align*}$ definieren, mit Konstantfunktion 1.