(n^2) zeigen

20.05.2017, 15:37

KonverDiv

Konvergenz/Divergenz der Reihe (n+1)/(n^2) zeigen

Ich soll die Konvergenz oder Divergenz der Reihe zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { n+1 }{ { n }^{ 2 } } } \end{eqnarray*}$
erster Versuch mit dem Quotientenkriterium lieferte keine Aussage.

Ich habe dann versucht das Majorantenkriterium anzuwenden:

Meine Idee war dann von einer bekannten divergierenden Reihe auf die andere Reihe zu schließen.

$\begin{eqnarray*} \frac { n+1 }{ { n }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \end{eqnarray*}$

Ich habe dann die Ungleichung gelöst und bin dann auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} n+1\ge 1 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich dann festgehalten, dass das gilt wenn n >= 0 ist.

Abschließend habe ich das dann so formuliert:

$\begin{eqnarray*} \frac { n+1 }{ { n }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } \Longrightarrow \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { n+1 }{ { n }^{ 2 } } } \ge \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } } =\infty \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?
Danke für eure Antworten!

20.05.2017, 15:40

Clearly_wrong

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Nein, das kann man nicht so machen, weil $\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \infty \end{align*}$ nicht stimmt.

Versuchs mit einer anderen Minorante.

20.05.2017, 15:42

KonverDiv

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Danke für deine Antwort.

Ok, ich möchte eigentlich nicht drauf los raten, aber wäre das okay?

$\begin{eqnarray*} \sum _{ n=1 }^{ \infty } \frac { 1 }{ n } \end{eqnarray*}$

20.05.2017, 15:46

Clearly_wrong

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Damit man da nicht raten muss, hilft es, ein kleines Repertoire an Reihen zu haben, von denen man das Konvergenzverhalten kennt. Dein neuer Vorschlag ist ok.

20.05.2017, 15:48

KonverDiv

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Zitat:

Damit man da nicht raten muss, hilft es, ein kleines Repertoire an Reihen zu haben, von denen man das Konvergenzverhalten kennt. Dein neuer Vorschlag ist ok.

Ja da stimme ich dir zu, kannst du mir ad hoc vielleicht eine gute Quelle nennen, wo man solche Reihen als Übersicht hat. Weil mir das immer recht schwer fällt, da jetzt die passende Reihe zu nehmen.

Aber Ansonsten dann mit der Neuen Minorante weiterrechnen?

----------------

Das wäre dann die verbesserte Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \frac { n+1 }{ { n }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ n } \end{eqnarray*}$

Ungleichung lösen ergibt:

$\begin{eqnarray*} 1+\frac { 1 }{ n } \ge 1 \end{eqnarray*}$

Wenn n >= 0 ist, gilt der Ausdruck.

Abschließend:

$\begin{eqnarray*} \frac { n+1 }{ { n }^{ 2 } } \ge \frac { 1 }{ n } \Longrightarrow \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { n+1 }{ { n }^{ 2 } } } \ge \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n } } \end{eqnarray*}$

So richtig?

20.05.2017, 21:08

KonverDiv

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Ist das richtig so, wie ich das nun gemacht habe?

20.05.2017, 22:08

Clearly_wrong

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Ja, ist richtig.

Die beiden wichtigsten Beispiele sind hier gelistet:
https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Beispiele_2

Wenn man die kennt, hat man schon viel abgehakt.

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