Konvergenz / Divergenz mit Logarithmus und Sinus |
20.05.2017, 16:29 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Konvergenz / Divergenz mit Logarithmus und Sinus ich habe eine weitere Aufgabe, die für mich aktuell recht schwierig ist: Auch hier würde ich gerne die Konvergenz oder Divergenz zeigen. Mich verwirren aber etwas der Sinus und der Logarithmus. Welches Kriterium würde sich hier überhaupt anbieten? Mit dem Quotientenkriterium würde ich hier glaube ich mehr verkomplizieren, als vereinfachen... Danke für eure Vorschläge! |
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20.05.2017, 17:34 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Versteif dich hier besser nicht zu sehr auf das Quotientenkriterium. Sondern schreibe die Reihe mal als und überlege dir ob du nicht eine Reihe finden kannst mit sodass diese konvergiert und gilt. (Majorantenkriterium) Denn dann kannst du folgern, dass ist und S damit konvergiert, wenn T konvergiert. Bedenken dabei auch die Beschränktheit des . |
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20.05.2017, 17:38 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ginge dann beispielsweise über die Harmonische Reihe oder? |
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20.05.2017, 17:43 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Versuch lieber mit deinem eine gute Abschätzung für ein zu finden und argumentiere dabei warum diese Abschätzungen gelten. Denk z.B. über das Wachstumsverhalten des Logarithmus nach und verwende die Beschränktheit des Sinus. Die harmonische Reihe (ich spreche hier von ) hilft dir hier als nicht, da sie selbst divergiert. Will sagen, wenn konvergiert, macht eine Abschätzung mit der harmonischen Reihe keinen Sinn, weil diese dann maximal aussagen würde, dass langsamer divergiert, als die harmonische Reihe. Du musst also eine konvergente Reihe zur Abschätzung als finden und diese Abschätzung sauber begründen. |
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20.05.2017, 17:57 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich verstehe worauf du hinaus willst. Kannst du mir etwas weiterhelfen. Ich finde gerade diese Abschätzung am schwierigsten! |
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20.05.2017, 18:05 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es wäre ein Anfang sich mal die Folge anzusehen. Wie ich bereits sagte ist der Sinus beschränkt (und zwar zwischen -1 und 1). D.h. es gilt was äquivalent zu ist. Damit folgt zuerst: Eine Idee, wie du nun mit dem Logarithmus verfährst? Denk an dessen Wachstumsverhalten in Relation zu einer linearen Funktion. |
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20.05.2017, 18:23 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der beschränkte Sinus ist sehr gut! Die Lineare Funktion wächst schneller als der Logarithmus also x und log(x) |
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20.05.2017, 18:32 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ziemlich genau das. D.h. es gilt ganz allgemein . Nutz das doch mal für deine Abschätzung und dann sehen wir weiter. |
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20.05.2017, 19:47 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könnte man da sowas wie das formen? Nur wenn man den Gedanken mit dem letzten Bruch weiterspinnt benötigt man doch immer noch eine Vergleichsreihe, wie 1/n, von der man weiß, dass sie divergiert oder konvergiert? |
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20.05.2017, 19:51 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja! Ganz genau! Jetzt gilt es nur noch zu begründen, warum das für eine gute Abschätzung ist und warum das als in einer Reihe konvergiert. |
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20.05.2017, 20:18 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man könnte dann ja die letzte Gleichung nehmen und die auf 1/n^2 bzw 1/n beziehen. dann hat man eine Ungleichung, die gelöst werden müsste. wenn etwas für den letzten Term gilt, muss das folglich auch für den anderen Sinus Term gelten Danke von dir kann man sehr gut lernen! |
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20.05.2017, 20:29 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Argumentation geht in die richtige Richtung, ist aber noch Lückenhaft. Gezeigt haben wir bereits, dass ist. Jetzt kann man zeigen, dass ist. Dies führt zu der Schlussfolgerung, dass ist. Insgesamt bedeutet das also: Da nun jede Reihe der Form für konvergiert, konvergiert auch dein T. |
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20.05.2017, 21:04 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok ja stimme ich dir von der Idee her zu nur bei kann ich dir nicht folgen |
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20.05.2017, 21:06 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kommt bei einer Polynomdivision raus Unorthodox aber wirksam. |
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20.05.2017, 21:09 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja gut, damit eliminierst du dann das n im Zähler damit man das (gesamte) später besser mit 1/n in Beziehung setzen kann? |
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20.05.2017, 21:10 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, um einen Ausdruck zu erhalten, mit dem man besser weitere Abschätzungen machen kann. Aber Achtung! Nicht sondern ! |
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20.05.2017, 21:17 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, bin etwas verwirrt, da vorhin eingeworfen wurde das 1/n^2 nicht wirklich geht vergleiche dazu Konvergenz/Divergenz der Reihe (n+1)/(n^2) zeigen |
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20.05.2017, 21:18 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In dem Thread wurde angemerkt, dass die von mir genannte Reihe nicht geeignet ist um Divergenz zu zeigen. Das stimmt soweit auch, aber wir zeigen hier Konvergenz nicht Divergenz. |
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20.05.2017, 21:25 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, ja richtig Nachmal eine Frage, könnte man nicht auch: n/(n^3-1) <= 1/(n^2 -1/n) hiermit weiterrechnen. Weil dieser Schritt der Polynom Division recht heikel ist, wie ich finde |
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20.05.2017, 21:27 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du meinst, da eine geeignete Abschätzung zu finden geht auch das. Ist nicht so heikel wie du vielleicht glaubst. Im Idealfall macht man für sowas eine Partialbruchzerlegung, aber oftmals reicht eine einfache Division mit Rest vollkommen aus. |
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20.05.2017, 21:30 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok danke, dann hast du meine Frage echt gut beantwortet! Die Sache der Abschätzung ist aber echt nicht einfach Zu 1/n und 1/n^2 nochmal. 1/n ist divergent richtig? 1/n^2 ist konvergent ? VGL ie_allgemeine_harmonische_Reihe" target="_blank">Hier Aber für meine Reihe müsste es dann konvergieren oder? |
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20.05.2017, 21:36 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wir sprechen hier von den REIHEN nicht von den Grenzwerten. Wenn du die von dir gelisteten Terme als Reihenelemente auffasst, dann konvergieren die Reihen , wie ich bereits schrieb für alle . Für divergiert die Reihe obwohl ist. Demzufolge konvergiert die letzte von dir genannte Reihe mit auch. |
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20.05.2017, 21:39 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja das stimmt, ich habe das Summenzeichen mal weggelassen, was die Sache dann aber nicht mehr zu einer Reihe macht. Selbstverständlich meine ich aber die reihe Danke! Aber für die Eingangs beschriebene Reihe konvergiert es dann richtig? |
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20.05.2017, 21:40 | Rbn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich zitiere ungern viel, aber da steht`s. Die Folge dessen, dass dein T konvergiert findest du in dem Beitrag:
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20.05.2017, 21:41 | KonverDiv | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann nochmal danke an dich für deine Mühe hier! Aber jetzt ist es dann auch (endlich) verstanden! Großes Lob! |
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21.05.2017, 08:18 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Als alternative Abschaetzung im letzten Schritt bietet sich an. Die Ungleichung gilt fuer n > 1 und folgt sofort aus fuer alle . Damit ist dann . |
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