Newton-Cotes Koeffizienten

20.05.2017, 17:38

Lernenmuss

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Newton-Cotes Koeffizienten

Hallo Liebe Leute ich komme nicht weiter bei der Aufgabe. (siehe Bild)

Und meine Ideen sind:

Edit (m+): Inhalt vom 2. Beitrag hier eingefügt, damit der Antwortzähler wieder auf Null steht.

$\begin{eqnarray*} w_{m-k,m} = \frac{1}{m} \int_{0}^{m} \! \prod\limits_{j=0,j\neq k}^{m} \frac{x-j}{m-k-j} dx \end{eqnarray*}$

und Durch Substutition von j=m-i

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{m} \int_{0}^{m} \! \prod\limits_{m-i=0,m-i\neq k}^{m} \frac{x-m+i}{k+i} dx = \end{eqnarray*}$

und ab hier komme ich nicht weiter..

20.05.2017, 20:51

HAL 9000

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RE: Newton-Cotes Koeffizienten

Zitat:

Original von Lernenmuss
und Durch Substutition von j=m-i

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{m} \int_{0}^{m} \! \prod\limits_{m-i=0,m-i\neq k}^{m} \frac{x-m+i}{k+i} dx = \end{eqnarray*}$

Vorzeichenfehler - richtig wäre

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{m} \int_{0}^{m} \! \prod\limits_{m-i=0,m-i\neq k}^{m} \frac{x-m+i}{i-k} dx \end{eqnarray*}$

Und jetzt substituiere noch die Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} t=m-x \end{eqnarray*}$ .

20.05.2017, 21:08

Lernenmuss

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RE: Newton-Cotes Koeffizienten
Die Intergrationsvariable ist doch x und nicht m-x verwirrt

verwirrt

und ausserdem gibt es doch kein m-x sondern nur x-m...

20.05.2017, 21:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lernenmuss
Die Intergrationsvariable ist doch x und nicht m-x verwirrt

verwirrt

Diese Anmerkung ist so sinnvoll wie "nachts ist es kälter als draußen", komplett irrelevant in Bezug auf meinen Substitutionsvorschlag. unglücklich

unglücklich

EDIT: Ach ja, und der Indexbereich des Produktes hast du schon vom Start weg falsch angegeben: Statt $\begin{eqnarray*} j\neq k \end{eqnarray*}$ muss dort $\begin{eqnarray*} j\neq m-k \end{eqnarray*}$ stehen, das zieht sich hin bis zu $\begin{eqnarray*} \prod_{m-i=0,m-i\neq m-k}^{m} \ldots = \prod_{i=0,i\neq k}^{m} \ldots \end{eqnarray*}$ .

20.05.2017, 21:23

Lernenmuss

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Warum ist

Zitat:

stehen, das zieht sich hin bis zu $\begin{eqnarray*} \prod_{m-i=0,m-i\neq m-k}^{m} \ldots = \prod_{i=0,i\neq k}^{m} \ldots \end{eqnarray*}$ .

Das gleiche ?

Ich verstehe ja das

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{m-i=0,m-i\neq m-k}^{m} = \prod\limits_{m-i=0,-i\neq -k}^{m} \end{eqnarray*}$ ist ..

20.05.2017, 21:28

HAL 9000

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$\begin{align*} -i\neq -k \end{align*}$ ist dasselbe wie $\begin{align*} i\neq k \end{align*}$ .

Und $\begin{align*} m-i\in \{0,1,\ldots,m\} \end{align*}$ bedeutet $\begin{align*} i\in\{m-0,m-1,\ldots,m-(m-1),m-m\} = \{m,m-1,\ldots,1,0\} = \{0,1,\ldots,m\} \end{align*}$ , d.h., es wird wieder über $\begin{align*} 0,1,\ldots,m \end{align*}$ summiert (nur in umgekehrter Reihenfolge, was man aber unter Erhalt des Summenwertes wieder in die "richtige" Reihenfolge umdrehen kann).

Auch mal ein bisschen nachdenken, was die Symbolik bedeutet, statt nur stumpf formal vorzugehen.

EDIT: "summiert" bitte durch "multipliziert" sowie "Summenwert" durch "Produktwert" ersetzen. smile

smile

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20.05.2017, 21:57

Lernenmuss

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Du redest die ganze zeit über Summe etc

aber das alles ist doch ein Produkt..

Zitat:

was man aber unter Erhalt des Summenwertes wieder in die "richtige" Reihenfolge umdrehen kann).

was meinst du damit?

Also gut wir haben also :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \int_{0}^{m} \! \prod\limits_{i=0,i\neq k}^{m} \frac{x-m+i}{i-k} dx \end{eqnarray*}$

da der Laufindex rückwärts läuft müssen wir doch die vorzeichen wechseln vom Quotient oder verwirrt

verwirrt

20.05.2017, 22:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lernenmuss
Du redest die ganze zeit über Summe etc

aber das alles ist doch ein Produkt..

Das muss dich ja mächtig erfreuen, dass ich mich einmal (von wegen "ganze Zeit", siehe mein Beitrag 21:12 ohne diesen Versprecher Forum Kloppe

Forum Kloppe

) versprochen habe. Vor allem weil es so inhaltlich relevant ist, dass es alles zum Einsturz bringt. Big Laugh

Big Laugh

20.05.2017, 22:15

Lernenmuss

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Nein ganz im Gegenteil ich war verwirrt ob ich etwas falsch verstanden habe ich weiß das du sehr gut bist Freude

Freude

Was ich allerdings nicht verstehe wie soll das rückwärts laufen verwirrt

verwirrt

zb, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{2} k =3 \end{eqnarray*}$ hier ist k= {0,1,2}

und rückwärts wäre es ja k={2,1,0} aber das kann man ja nicht so schreiben.. naja anstatt das ich mich so sehr rein vertiefe in etwas sinnloses versuche ich das was du sagtest anzuwenden..

t=m-x soll ich ja übernehmen wie mach ich das wenn m-x nicht mal da steht..

20.05.2017, 22:22

HAL 9000

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Man kann es nicht so schreiben, weil es wegen des Kommutativgesetzes der Addition (bzw. beim Produkt eben des Kommutativgesetzes der Multiplikation) keinen Bedarf gibt, die Reihenfolge vorzuschreiben. Ich weiß jetzt nicht, was das Verharren auf diesem Nebenkriegsschauplatz soll, also wo es da Unklarheiten gibt? Erstaunt1

Erstaunt1

20.05.2017, 22:24

Lernenmuss

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Ja tut mir leid ..

wie kann ich nun t=m-x Subst. Wenn nicht mal ein m-x da steht..

20.05.2017, 22:28

HAL 9000

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Muss ich jetzt wirklich erklären, wie eine Substitution funktioniert? $\begin{eqnarray*} t=m-x \end{eqnarray*}$ bedeutet umgestellt $\begin{eqnarray*} x=m-t \end{eqnarray*}$ resp. $\begin{eqnarray*} \dd x = -\dd t \end{eqnarray*}$ .

20.05.2017, 22:48

Lernenmuss

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Also ich habe doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\int_{0}^{m} \! \, \prod\limits_{i=0,i\neq k}^{m} \frac{x-m+i}{i-k} dx \end{eqnarray*}$

und ich soll eine Subs. durchführen mit t=m-x ..

Umgestellt sowie du schriebst ist ja dann dx = -dt

dabei ändern sich auch die ober und untergrenze Durch dx=-dt Ändert sich das Vorzeichen vom Quotient (Stimmt das?? verwirrt

verwirrt

)

Also haben wir

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{m}\int_{m}^{0} \! \, \prod\limits_{i=0,i\neq k}^{m} \frac{(m-x)+i}{k-i} dt \end{eqnarray*}$

weil sich das Vorzeichen geändert hat durch t=m-x stimmt das verwirrt

verwirrt

20.05.2017, 22:54

HAL 9000

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Ich weiß nicht, mit welchen Scheuklappen du da hinsichtlich dieser trivialen Substitution rumläufst? Dann muss ich dich wohl mit der Nase reindrücken. Wie gesagt, $\begin{align*} x=m-t \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \dd x = -\dd t \end{align*}$ einsetzen:

$\begin{align*} \int\limits_0^m \prod_{i=0,i\neq k}^m \frac{x-m+i}{i-k} ~ \dd x = \int\limits_{m}^0 \prod_{i=0,i\neq k}^m \frac{(m-t)-m+i}{i-k} ~ (-\dd t) = -\int\limits_{m}^0 \prod_{i=0,i\neq k}^m \frac{-t+i}{i-k} ~ \dd t = \int\limits_0^m \prod_{i=0,i\neq k}^m \frac{t-i}{k-i} ~ \dd t \end{align*}$ .

Und das ist nichts weiter also die Definition von $\begin{align*} \omega_{k,m} \end{align*}$ . Das hätten wir so schon vor 1,5 Stunden haben können.

20.05.2017, 23:18

Lernenmuss

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Mal ne ganz blöde frage :/ warum wird im letzten = die vorzeichen vom Quotienten geändert? :/

20.05.2017, 23:25

HAL 9000

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Schon wieder eine falsche Frage, da das Vorzeichen des Quotienten gar nicht geändert wird: Wenn man sowohl in Zähler wie auch in Nenner jeweils das Vorzeichen ändert, bleibt das Vorzeichen des Quotienten erhalten. Und warum ich letzteres getan habe, liegt ja wohl auf der Hand: Damit die Struktur der Definition von $\begin{eqnarray*} \omega_{k,m} \end{eqnarray*}$ deutlich hervortritt.

20.05.2017, 23:29

Lernenmuss

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Ohman ich bin echt dumm :/ ich muss noch viel lernen unglücklich

unglücklich

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