Divergenz oder Konvergenz einer Reihe

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21.05.2017, 14:24	LenaMuffin	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz oder Konvergenz einer Reihe Meine Frage: Hallo, ich muss bei folgender Aufgabe herausfinden, ob die Reihe divergiert oder konvergiert: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{x=1}^{n} 5^{(-1)^{3x}-3x} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe zunächst versucht den Grenzwert auszurechnen mit x-> unendlich. Dabei ist mir aufgefallen, dass $\begin{eqnarray} (-1)^{3x} \end{eqnarray}$ zwischen -1 und 1 divergiert. -3x ist ein unendlicher Wert. Der Grenzwert ist somit nicht bestimmbar, die Reihe divergiert. Ist das richtig? Oder müsste ich hier mit einem Konvergenzkriterium arbeiten? LG Lena
21.05.2017, 14:32	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur weil $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} ((-1)^{3x}-3x) \end{eqnarray}$ nicht existiert, heißt das doch nicht, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{x=1}^\infty 5^{(-1)^{3x}-3x} \end{eqnarray}$ nicht konvergiert. (Die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty} 5^{(-1)^{3x}-3x}=0 \end{eqnarray}$ ist z.B. erfüllt.) Ich würde es mit dem Wurzelkriterium versuchen.
21.05.2017, 15:17	LenaMuffin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche es mal, danke. Ich hätte noch eine weitere Frage: ich habe in einer vorherigen Aufgabe das Leibniz Kriterium angewandt. Es war eine alternierende Reihe. Durch das Kriterium ergab sich, dass die Reihe konvergiert. Beweist das Leibniz Kriterium nur die normale Konvergenz? Und wenn es normale Konvergenz ist, kann es auch absolute Konvergenz geben für die selbe Reihe?
21.05.2017, 15:27	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Leibniz-Kriterium kannst du keine absolute Konvergenz zeigen (siehe z.B. die alternierende harmonische Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ ). Zu deiner zweiten Frage: Aus der absoluten Konvergenz folgt die "normale" Konvergenz. Du musst also eine alternierende Reihe finden, die absolut konvergent ist, oder beweisen, dass es eine solche Reihe nicht geben kann. Irgendwelche Ideen?
21.05.2017, 15:40	LenaMuffin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss ich wohl noch nacharbeiten Aber was ich auf den ersten Blick in meine Mitschriften feststellen konnte, die Reihe wird in Beträge gesetzt und dann arbeitet man mit den Majoranten-/ Minorantenkriterium weiter, oder?
21.05.2017, 15:59	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst, um eine Reihe auf absolute Konvergenz zu untersuchen? So allgemein kann man das nicht sagen. Majoranten-, Quotienten-, und Wurzelkriterium liefern aber die absolute Konvergenz.
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21.05.2017, 16:41	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde die Aufgabe sehr interessant. Du sagtest Eingangs Wurzelkriterium, könnte das so etwa aussehen? $\begin{eqnarray} \sqrt [ x ]{ \left\| { 5 }^{ { (-1) }^{ 3x }-3x } \right\| } =\sqrt [ x ]{ \left\| { 5 }^{ { (-1) }^{ 3x } } \right\| } \sqrt [ x ]{ \left\| { 5 }^{ -3x } \right\| } =1\sqrt [ x ]{ \left\| { 5 }^{ -3x } \right\| } \end{eqnarray*}$ Ich habe die Wurzeln getrennt und später den Wurzelausdruck mit ^-1 weggelassen, da dieser ja durch den Betrag immer 1 wird. Er hat ja nur die Möglichkeit -1 oder 1 zu werden, da aber das ganze im Betrag steht bleibt 1. Könnte man jetzt für den letzten Term argumentieren, dass dieser gegen 0 geht? Oder anders: Ist der Gedanke überhaupt richtig?
21.05.2017, 16:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Betrag kannst du hier sowieso von vornherein weglassen, weil $\begin{align} 5^t>0 \end{align}$ für beliebige reelle Zahlen $\begin{align} t \end{align}$ gilt. Es klingt fast so, als bringst du Vorzeichen von Exponenten mit Vorzeichen der Gesamtpotenz inhaltlich durcheinander...
21.05.2017, 16:53	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, gut aufgepasst! Ich hatte nur (-1)^n betrachtet. Aber die beiden Wurzeln für sich selbst betrachtet, dort würde dann doch die linke gegen 1 gehen, während die rechte gegen 0 geht ?
21.05.2017, 16:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, $\begin{align} \lim_{x\to\infty} \sqrt[x]{5^{(-1)^{3x}}} = 5^{\frac{1}{x}(-1)^{3x}} = 5^0 = 1 \end{align}$ wäre richtig. Was den zweiten Term betrifft: Es ist $\begin{align} \sqrt[x]{5^{-3x}} = 5^{\frac{-3x}{x}} = 5^{-3} \end{align}$ .
21.05.2017, 16:59	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gerade selbst nochmal geprüft, so komme ich auch auf 1 und 1/125, dann existiert also ein Grenzwert
21.05.2017, 17:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Reihe konvergiert. Tatsächlich kann man sogar den Reihenwert recht einfach berechnen: Getrennt nach geraden und ungeraden Indizes stellt man fest, dass es sich dabei jeweils um waschechte geometrische Reihen handelt, die man ja komplett beherrscht.
21.05.2017, 17:05	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, auch wieder was gelernt! Danke! PS: Danke auch für die Aufgabe!

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