Konvergiert die Reihe

21.05.2017, 15:48	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergiert die Reihe Hallo, ich habe wieder eine interessante Aufgabe zur Konvergenz. $\begin{eqnarray} \sum _{ i=1 }^{ \infty }{ \frac { cos(1/i) }{ { i }^{ 2 } } } \end{eqnarray}$ Ich dachte mir, dass man das bestimmt mit dem Majoranten/Minoranten Kriterium lösen muss. Quotientenkriterium funktioniert vermutlich nicht? Mein Ansatz ist bis jetzt: $\begin{eqnarray} \left\| \frac { cos(1/i) }{ { i }^{ 2 } } \right\| \le \frac { 1 }{ { i }^{ 2 } } \end{eqnarray}$ der Kosinus bewegt sich ja im Bereich von -1 bis 1 daher habe ich als Vergleich dann 1/i^2 genommen. Man müsste jetzt die Ungleichung lösen und stellt fest, dass $\begin{eqnarray} cos(1/i)\le 1 \end{eqnarray}$ Ist das richtig "vermutet" oder falsch? Ich tue mich bei dem Majoranten/Minoranten Kriterium noch recht schwer... Danke für eure Hilfe!
21.05.2017, 15:55	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast doch selbst schon geschrieben, dass der Cosinus sich zwischen $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ bewegt, also ist $\begin{eqnarray} \|cos(x)\|\leq 1 \end{eqnarray}$ , egal was $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist, auch für $\begin{eqnarray} x = 1/i \end{eqnarray}$ .
21.05.2017, 16:01	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, kann ich das dann so stehenlassen?
21.05.2017, 16:06	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \left\|\frac{\cos(1/i)}{i^2}\right\|\leq \frac{1}{i^2} \end{eqnarray}$ ist richtig. Was du danach geschrieben hast, dass dafür hinreichend ist, dass $\begin{eqnarray} cos(1/i)\le 1 \end{eqnarray}$ stimmt nicht. Man braucht schon $\begin{eqnarray} \|cos(1/i)\|\le 1 \end{eqnarray}$ , aber das hast du ja oben auch geschrieben. Edit: Vergessene Betragsstriche eingefügt.
21.05.2017, 16:28	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar, die Betragsstriche darf ich nicht vergessen, stimmt! Aber dann ist die Aufgabe soweit fertig, richtig? Ich würde das dann so etwa festhalten: $\begin{eqnarray} \left\| \frac { cos(1/i) }{ { i }^{ 2 } } \right\| \le \frac { 1 }{ { i }^{ 2 } } \Longrightarrow \sum _{ i=1 }^{ \infty }{ \left\| \frac { cos(1/i) }{ { i }^{ 2 } } \right\| } \le \sum _{ i=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { i }^{ 2 } } } \end{eqnarray}$

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