Konvergenzradius Taylorreihe ln(1+x) je nach Kriterium anders |
| 21.05.2017, 16:54 | natürlichGebraut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Konvergenzradius Taylorreihe ln(1+x) je nach Kriterium anders ich wollte mir mal taylorentwickeln und schauen für welches x die Reihe konvergiert. Ich komme auf Eine Frage vorab: Wie genau zeige ich eigentlich, dass die Summe, wenn sie denn konvergiert, es auch wirklich gegen meine Funktion tut? Irgendwie zeige ich ja nur, dass sie überhaupt konvergiert.. (Und noch eine Frage: Hat das was mit punktweiser/gleichmäßiger Konvergenz zutun?) Jedenfalls sieht das nach Leibniz aus, wobei a_k zwar Nullfolge für |x|<1, aber nur monoton fällt für 0<x<1.. Wenn man den sich das per Quotientenkriterium anschaut, kommt man auf |x|<1.. ..Und es scheint auch auf -1<x<1 zu konvergieren, wenn man es sich plottet. Also warum ist das falsch?? Hat da jemand ne Ahnung? |
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| 21.05.2017, 17:11 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gewöhnlich dadurch, dass man sich nicht sofort auf die Taylorreihe stürzt, sondern erstmal nur die Taylorformel nutzt, d.h., Taylorentwicklung mit Restglied. Und dann zeigt, dass das Restglied für Grad gegen unendlich verschwindet (d.h., gegen Null konvergiert).
Ja, die Reihe konvergiert für , aber nicht nur! |
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| 21.05.2017, 17:44 | natürlichGebraut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke schon mal. Die Taylorformel muss ich mir dann noch mal ansehen.. Gibts für ihre Funktionsweise eine kurze Erklärung? Das Restglied müsste doch quasi aus den restlichen Summanden der Reihe bestehen..?!
Wie wo was? Wo denn noch? Und wie kann man das sehen? Für Quotientenkriterium bekomme ich heraus und für Leibniz soll gelten monoton fallend, was nicht für negative x zutrifft... Oder sehe ich da was falsch? |
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| 21.05.2017, 18:06 | natürlichGebraut | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
...Für das Restglied scheint es mehrere Definitionen zu geben.. Sind die alle gleichwertig? |
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| 21.05.2017, 21:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auch wenn das bei vielen Taylorentwicklungen so zu sein scheint, ist das als allgemeine Annahme ein fataler Irrtum: Die Funktion besitzt bei Entwicklung im Nullpunkt die Taylorreihe , weil alle Ableitungswerte im Nullpunkt gleich Null sind! Also ist hier auch der Reihenrest jeweils gleich Null, dennnoch entspricht er nicht dem Restglied, welches ja hier jeweils immer gleich der eigentlichen Funktion ist, und die ist aber nicht gleich Null. Also aufpassen mit heuristisch gewonnenen, vermeintlich "allgemeinen" Aussagen über Taylorreihen. 
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