Grenzwert

21.05.2017, 17:10

Butterblume02

Grenzwert

Ich habe:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{\left(1+\frac{x}{c}\right)^{b}} \end{eqnarray*}$

und möchte gerne den Grenzwert von:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen für $\begin{eqnarray*} 0<b<1 \end{eqnarray*}$ und einmal für $\begin{eqnarray*} b>1 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe dazu den Term erstmal etwas umgeformt

$\begin{eqnarray*} x\cdot\frac{1}{\left(1+\frac{x}{c}\right)^{b}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{x}{x^{b}}\cdot\frac{c^{b}}{\left(\frac{c}{x}+1\right)^{b}} \end{eqnarray*}$

Falls nun also $\begin{eqnarray*} b>1 \end{eqnarray*}$ gilt kann ich die GWS anwenden:

$\begin{eqnarray*} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^{b}}\cdot \lim_{x \to \infty} \frac{c^{b}}{\left(\frac{c}{x}+1\right)^{b}} = 0 \cdot c^b = 0 <br /> \end{eqnarray*}$

2. Fall $\begin{eqnarray*} 0<b<1 \end{eqnarray*}$ :

Nach L´Hospital gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\left(1+\frac{x}{c}\right)^{b}}=\frac{1}{\frac{b}{c}\left(1+\frac{c}{c}\right)^{b-1}}=\frac{c}{b\left(1+\frac{x}{c}\right)^{b-1}}\to\infty \end{eqnarray*}$ , da ja jetzt $\begin{eqnarray*} b<1 \end{eqnarray*}$ . Aber irgendwie sieht das unschön aus.

Vll könnte man auch einfach so begründen das es gegen unendlich gilt das wäre dann aber Mathematisch nicht so präzise oder? Ich meine unten steht eine Wurzel oben steht ein Polynom 1. Grades. Das Wächst natürlich stärker.

Geht das irgendwie schöner?

21.05.2017, 19:49

Leopold

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Vorsicht! Bei L'Hospital sind nicht die Terme gleich, sondern deren Grenzwerte!
Was ist übrigens mit $\begin{align*} c \end{align*}$ ? Ist das eine positive Größe?

Warum verwendest du im 2. Fall nicht dieselbe Umformung wie im 1. Fall? L'Hospital bringt hier keinen Gewinn.

21.05.2017, 21:04

Butterblume02

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Zitat:

Vorsicht! Bei L'Hospital sind nicht die Terme gleich, sondern deren Grenzwerte!

Das ist natürlich korrekt. Das hab ich etwas unsauber aufgeschrieben.

Zitat:

Was ist übrigens mit ? Ist das eine positive Größe?

Falls die Größe $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ gemeint ist so gibt es diesbezüglich keine klaren Angaben. Aber ja $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ soll eine positive Größe sein.

Zitat:

Warum verwendest du im 2. Fall nicht dieselbe Umformung wie im 1. Fall?

2. Fall $\begin{eqnarray*} 0<b<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x}{x^{b}}\cdot\frac{c^{b}}{\left(\frac{c}{x}+1\right)^{b}} \end{eqnarray*}$

Mein Problem hier ist die Tatsache, dass ich hier die Grenzwertsätze nicht anwenden darf.
Also müsste ich irgendwie abschätzen.

Da würde mir jetzt nur sowas wie die Bernoulli Ungleichung für reele Exponenten Einfallen.
Dafür gilt

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{r}\leq 1+rx \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} 0\leq r \leq 1 \end{eqnarray*}$

Dann könnte man abschätzen

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x^{b}}\cdot\frac{c^{b}}{\left(\frac{c}{x}+1\right)^{b}} \geq \frac{x}{x^{b}}\cdot\frac{c^{b}}{\frac{bc}{x}+1} \end{eqnarray*}$

würde mich aber auch erstmal so nicht weiter bringen, da rechts im Term immer noch das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ steht.

21.05.2017, 21:24

Butterblume02

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Mh Moment sind nicht meine Umformung oben schon bereits falsch?

Ich hab grade keinen Schimmer mehr wie ich darauf überhaupt gekommen bin verwirrt

21.05.2017, 21:37

Butterblume 02

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okay ne stimmt schon hatte mich vorhin nur verrechnet
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\left(1+\frac{x}{c}\right)^{b}}=\frac{x}{\left(\frac{c+x}{c}\right)^{b}}=\frac{c^{b}x}{\left(c+x\right)^{b}}=\frac{c^{b}x}{x^{b}\cdot\left(\frac{c}{x}+1\right)^{b}} \end{eqnarray*}$

22.05.2017, 09:15

HAL 9000

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Warum die Umstände?

Offenbar (auch wenn du es nirgendwo deutlich erwähnt hast) ist ja $\begin{align*} c>0 \end{align*}$ . Damit ist dein zweiter Faktor $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \frac{c^b}{\left(\frac{c}{x}+1\right)^b} = c^b \end{align*}$ ebenfalls eine positive reelle Zahl. (*)

Und der erste Faktor $\begin{align*} \frac{x}{x^b} = x^{1-b} \end{align*}$ divergiert im Fall $\begin{align*} 0<b<1 \end{align*}$ gehen unendlich. Was dann wegen (*) auch für das Produkt beider Terme gilt.

23.05.2017, 01:21

Butterblume02

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Hallo HAL 9000 vielen dank für deine Antwort. Vom Prinzip her finde ich die Argumentation durchaus schlüssig nur dachte ich, dass ich so nicht argumentieren dürfte, da die GWS ja nicht gelten sobald eine Folge divergiert.

Das ist aber ja bei der obigen Ausführung der Fall.

Sonst würde ja auch gelten:

$\begin{eqnarray*} 1 = \lim_{x \to \infty} 1 = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{x} = \infty \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Die Grenzwerte dürfte ich doch nur dann getrennt betrachten, wenn beide Folgen Konvergent wären.
Deswegen wollte ich das ganze so umständlich machen.

Mfg. Butterblume02

23.05.2017, 07:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Butterblume02
Sonst würde ja auch gelten:

$\begin{eqnarray*} 1 = \lim_{x \to \infty} 1 = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{x} = \infty \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Schöner Vortrag. Und jetzt überlegst du dir bitte noch, warum ich hier extra betont habe

Zitat:

Original von HAL 9000
Damit ist dein zweiter Faktor $\begin{align*} \lim_{x\to\infty} \frac{c^b}{\left(\frac{c}{x}+1\right)^b} = c^b \end{align*}$ ebenfalls eine positive reelle Zahl. (*)

dass der Grenzwert des einen Faktors eine echt positive Zahl ist und damit eben NICHT NULL, und was das an der Situtation ändert.

25.05.2017, 00:56

Butterblume02

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Mh ja weil das dann nicht passieren kann.
Ist im Prinzip ja auch logisch.
Wusste nur nicht ob man einfach so argumentieren darf weil es eben die Einschränkung in den GWS gibt.

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