Matrixexponential-Grundlegende Beweise

21.05.2017, 17:42	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixexponential-Grundlegende Beweise Hallo Zusammen, ich sitze gerade an Aufgaben zum Matrixexponential und komme nicht wirklich weiter. Hier erstmal die Aufgaben: $\begin{eqnarray} (a) \ Seien \ A,S,J \in K^{n \times n} \ und \ S \ eine \ invertierbare \ Matrix \ mit \ A = SJS^{-1}. \ \ Zeigen \ Sie \ e^{A} = Se^{J}S^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (b) Seien \ \lambda_{1} , \dots , \lambda_{n} \in K \ die \ Eintraege \ einer \ Diagonalmatrix \ D, \ d.h. D_{ij} = \lambda_{i} \delta_{ij}. \ \ Zeigen \ Sie \ (e^{D})_{ij} = e^{\lambda_{i}} \delta_{ij} \end{eqnarray}$ Bei der (a) fällt mir natürlich sofort der Begriff der Ähnlichkeit aus der Linearen Algebra ein. Jedoch weiß ich noch nicht wie mir das im Genauen weiterhelfen kann. Das Matrixexponential ist ja definiert als $\begin{eqnarray} e^{A} := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!} \end{eqnarray}$ Durch Umformungen bin ich bisher nicht weitergekommen. Ich wäre sehr dankbar für jegliche Tipps und Vorschläge (:
21.05.2017, 18:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixexponential-Grundlegende Beweise Für $\begin{eqnarray} A = SJS^{-1} \end{eqnarray}$ Berechne $\begin{eqnarray} A^2, A^3 \end{eqnarray}$ , dann solltest du das Prinzip schon erkennen.
22.05.2017, 13:04	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixexponential-Grundlegende Beweise Tut mir leid, aber ich verstehe nicht wie mich die Potenzierung von A weiterbringen soll?
22.05.2017, 13:17	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixexponential-Grundlegende Beweise Habe nun die Lösung! $\begin{eqnarray} (SJS^{-1})^{k} = Sk^{k}S^{-1} \end{eqnarray}$ Das ergibt sich dadurch, dass sich $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S^{-1} \end{eqnarray}$ gegenseitig auslöschen bei der Potenzierung.
22.05.2017, 18:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrixexponential-Grundlegende Beweise Sage ich doch: Prinzip schon erkannt

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »