Dichtefunktion aus Verteilungsfunktion bestimmen

21.05.2017, 18:58	Belle1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion aus Verteilungsfunktion bestimmen Meine Frage: Hey Ich soll zu einer stetigen Zufallsvariablen Y, welche eine Linearkombination aus einer stetigen Zufallsvariablen X ist, die Verteilungsfunktion und eine Dichte berechnen. Y:=4X-1 Zu X: Die Dichte von X ist 1/2+x für x in [0,1] und 0 sonst. Meine Ideen:* Meine Überlegungen: X(Omega)=[0,1], also Y(Omega)=[-1,3] Y(-1)=0 Y(3)=1 und Y muss streng monoton wachsend sein. Also wäre eine mögliche Verteilungsfunktion für Y 1/4x+1/4 Gut. Sollten meine Überlegungen überhaupt Sinn ergeben frage ich mich, wie ich denn nun an die Dichte kommen soll? Die Verteilungsfunktion ist ja das Integral der Dichte. Wenn ich also 1/4x+1/4 differenziere, erhalte ich 1/4. Das in den Grenzen von -1 bis 3 integriert ergibt tatsächlich 1. Könnte das denn so hinhauen?
21.05.2017, 21:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Verteilungsfunktion ist falsch. Gehe bitte logisch und systematisch vor, z.B. so: 1) Berechne zunächst die Verteilungsfunktion $\begin{align} F_X \end{align}$ von $\begin{align} X \end{align}$ . 2) Berechne mit Hilfe von 1) die Verteilungsfunktion von $\begin{align} Y \end{align}$ , und zwar über den Zusammenhang $\begin{align} F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(4X-1\leq y) = P\left(X\leq \frac{y+1}{4}\right) = F_X\left(\frac{y+1}{4}\right) \end{align}$ . 3) Die Dichte $\begin{align} f_Y \end{align}$ von $\begin{align} Y \end{align}$ ist (fast überall) gleich der Ableitung von $\begin{align} F_Y \end{align}$ .
22.05.2017, 18:19	RichterAlexanderHold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die Formel zur Transformation der Dichtefunktion? Auch hier zu finden: matheboard.de/archive/500277/thread.html Damit gehts doch eigentlich sehr elegeant. Dann integrieren und du hast auch die Verteilungsfunktion.
22.05.2017, 18:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja geht auch, aber: Da im vorliegenden Fall sowieso auch die Verteilungsfunktion $\begin{align} F_Y \end{align}$ gesucht ist, finde ich bei etwa gleichem Aufwand den oben skizzierten Weg natürlicher weil elementarer als den Transformationssatz - vor allem dann, wenn man von letzterem noch nie was gehört hat. Außerdem funktioniert der Weg über die Verteilungsfunktion auch in Fällen, wo der Transformationssatz versagt: Wenn die Transformationsfunktion nämlich nicht injektiv ist, z.B. bei $\begin{align} X \end{align}$ gleichverteilt auf $\begin{align} [-1,1] \end{align}$ und zu berechnen ist die Dichte von $\begin{align} Y=X^2 \end{align}$ . Zugegeben, im vorliegenden Fall ist die Transformationsfunktion $\begin{align} t\to 4t-1 \end{align}$ injektiv, aber es schadet ja nicht, mal über den Tellerrand hinauszuschauen.

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