Ist das Vektorfeld ein Gradientenfeld?

21.05.2017, 22:05	Fatiyaheln	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das Vektorfeld ein Gradientenfeld? Meine Frage: Die Aufgabenstellung befindet sich im Anhang. Zusammenfassend soll ich berechnen ob folgendes vektorfeld ein gradientenfeld ist und wenn ja, das dazugehörige skalarfeld berechnen. Meine Ideen: Falls die Bedingung rot F^>=rot(F^>)=0 erfüllt ist, ist F^> ein Gradientenfeld, lässt sich also als Gradient einer skalaren Ortsfunktion \phi darstellen. Das heißt ich muss austesten ob für dieses vektorfeld gilt: rot(F^>)=0 Ich kenne diese Bedingung jedoch fehlt mir der Ansatz bzw ich weiß nicht wie ich die Bedingung nun rechnerisch zeigen soll. Und wie berechne ich dann das skalare Feld ? Würde mich freuen wenn mir jemand dabei helfen würde mit einem Rechenweg.
22.05.2017, 01:34	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist das Vektorfeld ein Gradientenfeld? Die Formel zur Berechnung der Rotation findest Du in Deinen Unterlagen. Wenn Du sie gefunden hast, kannst Du $\begin{eqnarray} \operatorname{rot}\vec{A} \end{eqnarray}$ ausrechnen. Es wird $\begin{eqnarray} \vec{0} \end{eqnarray}$ rauskommen, d.h. $\begin{eqnarray} \vec{A} \end{eqnarray}$ ist tatsaechlich ein Gradientenfeld, und es gibt ein $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{A}=\operatorname{grad}f \end{eqnarray}$ . Das bedeutet z.B. wegen der zweiten Komponente von $\begin{eqnarray} \vec{A} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_y(x,y,z)=2z^3y\sin x \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=\int2z^3y\sin x\,dy+C(x,z) \end{eqnarray}$ . Das Integral kannst Du ausrechnen. $\begin{eqnarray} C(x,z) \end{eqnarray}$ ist noch so zu waehlen, dass $\begin{eqnarray} f_x \end{eqnarray}$ die erste und $\begin{eqnarray} f_z \end{eqnarray}$ die dritte Komponente von $\begin{eqnarray} \vec{A} \end{eqnarray}$ ergibt.

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