Beweis Nullfolge

22.05.2017, 09:11	redshark	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Nullfolge Meine Frage: Man bestimme den grenzwert der Folge: $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \frac{i+1}{ln(i+1)} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hallo, ich diese Folge taucht im Rahmen einer Übungsaufgabe auf. Ich müsste nur noch beweisen, dass es eine Nullfolge ist, dann wäre ich fertig Nur fehlt mir der Ansatz, wie ich hier abschätzen soll? Die reihe an sich divergiert ja, das $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ geht gegen 0, aber das hilft mir nicht weiter. Wie kann ich das Ding abschätzen? Ist es überhaupt eine Nullfolge? Vielen Dank! VG
22.05.2017, 09:17	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schätze einfach ganz grob jeden Summanden durch den größten Summanden ab.
22.05.2017, 09:29	redshark	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, okay $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \frac{i+1}{\ln(i+1)} \leq<br /> \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \frac{n+1}{\ln(n+1)} =<br /> \lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} n\frac{n+1}{\ln(n+1)} =<br /> \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^2 +n }{\ln(n+1) n^2} <br /> =\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1 +\frac{1}{n} }{\ln(n+1)} \to 0<br /> \end{eqnarray}$ so einfach das ich das nicht auch gesehen habe Vielen Dank
22.05.2017, 09:43	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie musst du allerdings für $\begin{align} a_i:=\frac{i+1}{\ln(i+1)} \end{align}$ auch noch begründen, dass $\begin{align} a_n \end{align}$ tatsächlich das größte der Folgenglieder $\begin{align} a_1,a_2,\ldots,a_n \end{align}$ ist! Z.B. ist Folge $\begin{align} (a_i) \end{align}$ nicht in Gänze monoton wachsend, es ist $\begin{align} a_1 = \frac{2}{\ln(2)} \approx 2.885 \end{align}$ und $\begin{align} a_2 = \frac{3}{\ln(3)} \approx 2.731 \end{align}$ , also $\begin{align} a_1 > a_2 \end{align}$ .

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