Potenzreihe - Bestimme alle x so dass die Reihen konvergieren

22.05.2017, 10:58	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe - Bestimme alle x so dass die Reihen konvergieren Meine Frage: Ich stoße hier bei den Aufgaben zu Potenzreihen auf ein kleines Umform Problem. Bzw. bin mir einfach unsicher. Hier die Aufgabe Bestimmen sie alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , für welche die folgenden Potenzreihen konvergieren. a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {3n^7x^n}{2n!} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {(x-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {(-4nx)^n}{2n^3} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {3n^7x^n}{2n!} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {3n^7}{2n!}x^n \end{eqnarray}$ jetzt können wir das Quotientenkriterium anwenden. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\|\frac {a_{n+1}} {a_n}\| = \lim_{n \to \infty}\| \frac {3(n+1)^7 \cdot 2n!}{2(n+1)!\cdot3n^7}\| = \lim_{n \to \infty}\| \frac {3(n+1)^7}{2(n+1)\cdot3n^7}\| = \lim_{n \to \infty}\| \frac {3(n+1)^6}{2\cdot3n^7}\| = 0 \end{eqnarray}$ wenn ich mich nicht irre. Dann würde diese Reihe ja auch nach Hadamard absolut konvergieren für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {(x-1)^n}{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {1}{n}\cdot (x-1)^n \end{eqnarray}$ Da mit dem Wurzelkriterium hier ganz einfach 1 rauskommt, konvergiert die Reihe für alle $\begin{eqnarray} \|x-1\| < 1 \end{eqnarray}$ und divergiert für alle $\begin{eqnarray} \|x-1\| > 1 \end{eqnarray}$ . c) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {(-4nx)^n}{2n^3} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {(-4n)^n}{2n^3}\cdot x^n \end{eqnarray}$ Wir verwenden hier das Wurzelkriterium. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\|\frac {(-4n)^n}{2n^3}\|} = \lim_{n \to \infty}\frac {\|(-4n)\|}{\sqrt[n]{\|2n^3\|}} = \lim_{n \to \infty}\frac {\|(-4n)\|}{1} = \infty \Rightarrow r=\frac 1 {\lim_{n \to \infty} 4n} \end{eqnarray}$ aber ich darf ja nicht durch $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ teilen. Was mache ich hier Falsch? Bzw. gilt dann hier da $\begin{eqnarray} \sqrt [n]{\|a_n\|} \end{eqnarray}$ unbeschränkt ist, so konvergiert die Potenzreihe nur für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ?
22.05.2017, 11:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so. Aber b) ist noch nicht ausreichend bearbeitet. So fehlt die Konvergenz oder Divergenz fuer $\begin{eqnarray} \|x-1\| = 1 \end{eqnarray}$ .
22.05.2017, 11:48	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Im fall $\begin{eqnarray} \|\|x-1\|=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} x=2 \lor x = 0 \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} x = 2 \end{eqnarray}$ ist das ganze die Harmonische Reihe, diese divergiert. Für $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ ist das ganze die alternierende harmonische Reihe und diese konvergiert. Das wäre es dann ja schon ! Super
22.05.2017, 11:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung: Man kann die Reihenwerte zu a) und b) sogar ausrechnen, wobei das bei a) ein ganz schön langer Term wird: $\begin{align} \sum_{n=1}^{\infty} \frac {3n^7x^n}{2n!} = \frac{3}{2}\left( x^7 + 21x^6 + 140x^5 + 350x^4 + 301x^3 + 63x^2 + x \right)e^x \end{align}$ .
22.05.2017, 11:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@dubbox Stimmt so @HAL Wunderschön

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