Variablentransformation

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22.05.2017, 13:02	TierraT	Auf diesen Beitrag antworten »
Variablentransformation Ich soll $\begin{eqnarray} x^3 y''' - x^2 y'' + xy' -y=0 \end{eqnarray}$ lösen, indem ich $\begin{eqnarray} x=e^t \end{eqnarray}$ setze. Dann würde ich $\begin{eqnarray} e^(3t)y'''-e^{2t}y''+e^t y' -y=0 \end{eqnarray}$ bekommen, wie löse ich das dann?
22.05.2017, 13:28	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation Du musst noch $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ ersetzen durch $\begin{eqnarray} y(e^t) \end{eqnarray}$ D.h. definiere $\begin{eqnarray} z(t) = y(e^t) \end{eqnarray}$ und berechne wie die Ableitungen von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit denen von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ zusammenhaengen.
22.05.2017, 13:48	TierraT	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation Danke! Ich habe jetzt also die Kettenregel für die Ableitungen von z(t) verwendet und auf die Ableitungen von y umgeformt und das Ganze dann vereinfacht. Jetzt habe ich $\begin{eqnarray} z''' e^t - \frac{2e^{3t}z''}{z'}- \frac{z''}{z' e^t} - z'' z' -z =0 \end{eqnarray*}$ Ist das so richtig?
22.05.2017, 13:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Variablentransformation Sieht nicht gut aus. Was ist denn $\begin{eqnarray} z'''(t) \end{eqnarray}$ einfach nach Definition?
22.05.2017, 13:59	TierraT	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} z'''(t)=y'''(e^t) \end{eqnarray}$ ? Aber müsste ich da nicht noch das $\begin{eqnarray} e^t \end{eqnarray}$ beachten?
22.05.2017, 14:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch. Also ist $\begin{eqnarray} z'''(t) = e^{3t} y'''(e^t) + 3e^{2t} y''(e^t) + e^t y'(e^t) \end{eqnarray}$ . Damit sollte wenn man damit anfaengt und einsetzt die hoechste Ableitung in der Differentialgleichung einfach $\begin{eqnarray} z''' \end{eqnarray}$ sein. Dann kann man die niedrigen Ableitungen anfangen zu ersetzen.
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22.05.2017, 14:43	TierraT	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Falls ich das richtig verstanden habe, soll ich jetzt also $\begin{eqnarray} z'''(t) = e^{3t} y'''(e^t) + 3e^{2t} y''(e^t) + e^t y'(e^t) \end{eqnarray}$ umformen, um auf y''', y'' und y' zu kommen? Das habe ich nämlich versucht. $\begin{eqnarray} y'(e^t) = \frac{z'''-e^{3t}y'''-3e^{2t}y''}{e^t} \end{eqnarray}$ Bei y'' kürzt sich dann aber alles weg. (und umgekehrt, also wenn ich zuerst auf y''' umforme, passiert das selbe)
22.05.2017, 14:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht geht es doch so besser: Starte mit $\begin{eqnarray} z(t) = y(e^t) \end{eqnarray}$ . Abgeleitet ergibt das $\begin{eqnarray} z'(t) = e^t y'(e^t) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} e^{-t} z'(t) = y'(e^t) \end{eqnarray}$ . Das kann man wieder ableiten, nach $\begin{eqnarray} y'' \end{eqnarray}$ umstellen und noch einmal ableiten. So bekommt man dann $\begin{eqnarray} y(e^t) = ... , y'(e^t) = .... \end{eqnarray}$ usw in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ und kann einfach alles in die Differentialgleichung einsetzen.
22.05.2017, 16:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Technisch gesehen ist es vermutlich günstiger, nicht $\begin{align} z(t)=y\left(e^t\right) \end{align}$ nach $\begin{align} t \end{align}$ , sondern umgekehrt $\begin{align} y(x)=z(\ln(x)) \end{align}$ nach $\begin{align} x \end{align}$ (mehrfach) abzuleiten: Denn dann hat man explizite Formeln von $\begin{align} y^{(k)} \end{align}$ in Abhängigkeit von $\begin{align} z,z',\ldots,z^{(k)} \end{align}$ , die man direkt in die DGL einsetzen kann.

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