Absolute Konvergenz mit kritischer Grenze

Neue Frage »

22.05.2017, 18:23	dabid2343	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolute Konvergenz mit kritischer Grenze Meine Frage: Zeige, dass das Integral $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! cos(\frac{1}{x}) \, dx \end{eqnarray}$ absolut Konvergent ist. Meine Ideen: Wir haben ein Vergleichskriterium mit "Groß O" . Wenn ich mir g(x)=x+1 wähle kann ich doch : $\begin{eqnarray} \limsup_{x \to 0} \frac{cos(\frac{1}{x}) }{x+1} < +\infty \end{eqnarray}$ oder? Obwohl ja dann noch da "quasi" 1/0 steht aber der lim sup ist doch eben von dem ganzen Term dann 1 oder? Weil wir hatten ein Beispiel im Skript mit sin(x) und dann war lim sup für x gegen unendlich auch definiert bzw halt auch max 1. Also müsste meins auch gehen oder? Dann kann ich ja folgern, dass das $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! 1+x \, dx < \infty \end{eqnarray}$ und dann folgt die absolute konvergenz. Richtig?
22.05.2017, 18:46	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz mit kritischer Grenze Warum nicht einfach nur eine (geeignete) konstante Funktion? Darauf wollte ich hier hier schon raus. War wohl nicht offensichtlich genug.
22.05.2017, 18:49	dabid2343	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, ja das würde natürlich auch gehen, aber ich weiss nur nicht ob es eben stimmt mit dem lim sup, aber wenn du "nur" das bemängelst dann sollte meins auch funktionieren oder? weil die letzte Abschätzung passt aufjedenfall und wenn dann der lim sup noch passen sollte.
22.05.2017, 21:07	dabid2343	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand weiterhelfen?
22.05.2017, 21:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgesehen davon, dass ich ebenso wie URL der Meinung bin, dass $\begin{align} O(1) \end{align}$ statt $\begin{align} O(x+1) \end{align}$ (wie auch immer du darauf kommst) die offensichtlichere Wahl ist: Dein Beitrag ist einfach unheimlich schwer verständlich - was soll z.B. dieses "da quasi 1/0 steht", dergleichen kann ich hier nirgendwo erkennen. Was im Argument vom Kosinus steht, ist weitgehend bedeutungslos - wichtig ist nur, dass $\begin{align} x\mapsto \cos\left(\frac{1}{x}\right) \end{align}$ für $\begin{align} x>0 \end{align}$ stetig und zudem beschränkt ist.
22.05.2017, 21:39	dabid2343	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht mir ja nur darum, ob meine Wahl auch richtig ist. Ich meine, dass wenn wir x gegen 0 laufen lassen ob dann der cos (1/x) auch noch wohldefiniert ist, weil ansonsten sollte an meiner Rechnung alles stimmen.
Anzeige

22.05.2017, 21:53	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann ist die Antwort: nein, das ist nicht richtig. Der Limsup, der da steht ist nicht endlich,das ist falsch. Wenn da ein Sinus stehen würde wäre es immernoch falsch.
22.05.2017, 22:02	dabid2343	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso nicht? Ich kann den Limes oben und unten auf den Bruch beziehen unten würde nur noch die 1 stehen wenn x -> 0 und oben steht cos ( infinity ) das wäre zwar nicht definiert aber der lim sup wäre das Supremum von der Menge der Häufungspunkte und das wäre doch 1.
22.05.2017, 22:19	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja stimmt. Ich hab die Eins nicht beachtet.
22.05.2017, 22:26	dabid2343	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Super. Dann noch eine Frage. Kann ich für das Integral $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty } \! sin(x) \, dx \end{eqnarray}$ die Konvergenz zeigen, indem ich wie die Kollegen oben sagten mir ein g(x)=1 wähle und dann $\begin{eqnarray} \limsup_{b \to \infty } \frac{sin(x)}{1} < \infty \end{eqnarray}$ schreibe, ist doch im Prinzip nichts anderes oder?
22.05.2017, 22:27	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einsfunktion hat aber kein endliches Integral.
22.05.2017, 22:35	dabid2343	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah sorry, hätte dazu sagen sollen ich bin jetzt bei "bedingter Konvergenz" und meine das Abelkriterium, dann folgt trivialerweise auch das die Einsfunktion beschränkt ist und dann muss ich aber noch zeigen, dass Integral von sin(x) konvergent ist, hmm glaube das bringt mir doch noch nicht so viel. Aber danke für die andere Hilfe!
22.05.2017, 22:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Das Integral existiert nicht.
22.05.2017, 22:50	dabid2343	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich meinte sin(x^2) das sollt existieren, aber habe da logischerweise das selbe Problem.
22.05.2017, 23:09	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchs mal mit $\begin{eqnarray} \sin(x^2) = \frac{1}{2x}\cdot 2x\sin(x^2) \end{eqnarray}$ und partieller Integration.
22.05.2017, 23:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder $\begin{align} t=x^2 \end{align}$ substituieren, dann ist $\begin{align} \int\limits_1^{\infty} \sin(x^2) ~ \dd x = \int\limits_1^{\infty} \frac{\sin(t)}{2\sqrt{t}} ~ \dd t \end{align}$ , und bei dem greift das Dirichlet-Kriterium (schwirrt auch gerade in einem anderen Thread hier rum).

Neue Frage »

Antworten »

Absolute Konvergenz mit kritischer Grenze

Verwandte Themen