Eigenwerte eines Polynoms; Nullstelle von f

23.05.2017, 11:12	LineareAlgebra	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte eines Polynoms; Nullstelle von f Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe: Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray} P(X)=a_{n} X^{n} +a_{n-1}X^{n-1}+...a_{1} X^{1}+a_{0}\in K[X] \end{eqnarray}$ ein Polynom. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum und f : V -> V ein Endomorphismus. Wir definieren $\begin{eqnarray} P(f)=a_{n} f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+...+a_{1}f^{1}+a_{0}f^{0} \end{eqnarray}$ wobei f0 = idV . Dies ist wieder ein Endomorphismus von V . Zeigen Sie: Gilt P(f) = 0, so ist jeder Eigenwert von f eine Nullstelle von P. Also die Eigenwerte von f sind einfach mal u. Dann ist det(f-uEinheitsmatrix)=0 bzw. f(v) = uv. Aber weiter weiß ich nicht wie ich jetzt da ran gehen soll Weil irgendwie müsste ich ja wissen was f^n ist? Weil die Eigenwerte ändern sich ja beim ^n nehmen oder? Vielen Dank für Hilfe im Voraus!
23.05.2017, 11:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte eines Polynoms; Nullstelle von f Zeige, dass wenn $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist, so ist $\begin{eqnarray} \lambda^n \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} f^n \end{eqnarray}$ .
23.05.2017, 11:53	LineareAlgebra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte eines Polynoms; Nullstelle von f Okay danke, habe ich jetzt gezeigt mit vollständiger Induktion. In einer der letzten Hausaufgaben haben wir auch schon bewiesen, dass wenn v Eigenvektor zu $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auch ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray} A^{n} \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda^{n} \end{eqnarray}$ ist. Also kann ich doch jetzt sagen: $\begin{eqnarray} P(f(v))=a_{n} \lambda^{n} v+a_{n-1}\lambda ^{n-1}v+...+a_{1}\lambda v+a_{0}id_{V}=0 \end{eqnarray}$ Aber wie zeige ich jetzt, dass die $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ die Nullstellen sind?
23.05.2017, 11:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte eines Polynoms; Nullstelle von f Es muss $\begin{eqnarray} \dots + a_0 id_V(v) \end{eqnarray}$ stehen. Und $\begin{eqnarray} a_0 id_V(v) = a_0v \end{eqnarray}$ . Da es ein $\begin{eqnarray} v\neq 0 \end{eqnarray}$ gibt, so dass die Gleichheit erfüllt ist, existiert ein Eintrag von $\begin{eqnarray} v= (v_1, v_2, \dots, v_k) \end{eqnarray}$ der nicht 0 ist. Betrachte dann die entsprechende Zeile deiner $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -dimensionalen Gleichheit. Edit: Alternativ: Klammere $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ aus und argumentiere warum der Skalar 0 sein muss.
23.05.2017, 12:58	LineareAlgebra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte eines Polynoms; Nullstelle von f Okay, vielen Dank also ist $\begin{eqnarray} v(a_{n} \lambda_{n}+a_{n-1}\lambda _{n}+....+a_{1}\lambda + a_{0} )=0 \end{eqnarray}$ Da v als Eigenwert nicht null sein darf, muss ja $\begin{eqnarray} a_{n} \lambda_{n}+a_{n-1}\lambda _{n}+....+a_{1}\lambda + a_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ gelten. Kann ich vielleicht so argumentieren, dass ich annehme die Eigenwerte wären keine Nullstellen des Polynoms? Und da das aber null ergeben muss, müssen diese Nullstellen sein?
23.05.2017, 13:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte eines Polynoms; Nullstelle von f Ich nehme an die Indizes der $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sollten Exponenten sein. Und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist kein Eigenwert, sondern ein Eigenvektor. Aber dann stimmt es. Und du hast doch gerade gefolgert, dass $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Nullstelle des Polynoms ist. Wieso willst du dann noch den Umweg gehen von: Angenommen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist keine Nullstelle. Aber ich habe gerade gezeigt $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist eine Nullstelle. Daher ist die Annahme, $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ sei keine Nullstelle falsch. Demnach ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Nullstelle. Ist umständlich und verwirrend, wenn auch nicht falsch.
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23.05.2017, 13:50	LineareAlgebra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte eines Polynoms; Nullstelle von f Achso okay, vielen Dank !

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