Stationäre Phase

23.05.2017, 11:24

ANDI123456

Stationäre Phase

Hallo zusammen,

ich betrachte folgendes Integral $\begin{eqnarray*} I_{j}(t)=\int_{(-\pi,\pi]^d }\frac{dk}{(2\pi)^d} e^{i w_j(k) t } f_j(k) \end{eqnarray*}$ , wobei man $\begin{eqnarray*} w_j(k) \end{eqnarray*}$ als Phase auf dem Einheitskreis $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sehen kann und $\begin{eqnarray*} f_j(k) \end{eqnarray*}$ ein Vorfaktor darstellt. Nach der Methode stationärer Phasen gilt $\begin{eqnarray*} I_j(t) \sim \frac{1}{(2\pi)^d} f_j(k_0) \vert det(H^{(j)}(k_0))\vert^{-1/2}\exp\left( it w_j(k_0) +\frac{i\pi \sigma}{4}\right)\left(\frac{2\pi}{t}\right)^{d/2} \end{eqnarray*}$ , wobei mit $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ die Punkte gemeint sind mit $\begin{eqnarray*} \nabla w_j(k_0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H^{(j)}_{m,n}(k_0)=\frac{\partial^2 w_j(k)}{\partial k_m \partial k_n} \big|_{k=k_0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=sign(H^{(j)}) \end{eqnarray*}$ ist.

Kennst sich jemand mit sowas aus und kann mir sagen wie man auf $\begin{eqnarray*} I_{j}(t) \sim t^{-d/2} \end{eqnarray*}$ kommt?

23.05.2017, 11:32

IfindU

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RE: Stationäre Phase
Vorweg: Ich kenne mich in der Materie nicht aus. Aber wenn man alle Terme in
$\begin{eqnarray*} I_j(t) \sim \frac{1}{(2\pi)^d} f_j(k_0) \vert det(H^{(j)}(k_0))\vert^{-1/2}\exp\left( it w_j(k_0) +\frac{i\pi \sigma}{4}\right)\left(\frac{2\pi}{t}\right)^{d/2} \end{eqnarray*}$
unabhängig von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ mal als Konstante $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ schreibt, so steht da
$\begin{eqnarray*} I_j(t) \sim c\exp\left( it w_j(k_0)\right) t^{-d/2} \end{eqnarray*}$ uind je nachdem was $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ bedeutet, folgt es wohl aus $\begin{eqnarray*} \left|\exp\left( it w_j(k_0)\right)\right| = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

29.05.2017, 16:54

ANDI123456

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Danke für deine Hilfe. Ich habe noch eine Frage zu nicht-stationären Phasen:

Wenn ich $\begin{eqnarray*} I_j(t)=O(t^{-N}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N\ge 0 \end{eqnarray*}$ gezeigt habe, kann ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} I_j(t) \end{eqnarray*}$ exponentiell fällt?

Und mit $\begin{eqnarray*} f(t)\sim g(t) \end{eqnarray*}$ meine ich, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{g(t)} =1 \end{eqnarray*}$ gilt.

29.05.2017, 17:23

IfindU

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Ich vermute nein. Nehmen wir die Intervalle $\begin{eqnarray*} J_k = ( k!, (k+1)!) \end{eqnarray*}$ und definieren $\begin{eqnarray*} I_j (t) = \sum_{k= 0}^\infty t^{-k}\chi_{J_k} \end{eqnarray*}$ . Ich vermute es faellt nicht exponentiell -- allerdings habe ich gerade nicht die Zeit es nachzurechnen.

Edit: Wenn das exponential faellt, aendere ich meine Meinung -- ein fieseres Beispiel faellt mir naemlich nicht ein Big Laugh

30.05.2017, 09:31

ANDI123456

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Hast recht, es fällt nicht exponentiell. Jetzt noch eine Frage:

In einer Literatur steht, dass man aus der Aussage $\begin{eqnarray*} I_j (t) = O(\lambda ^{-N} ) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N \ge 0 \end{eqnarray*}$ folgern kann, dass die Asymptotik im westentlichen durch die stationären Phasen bestimmt ist. Dies ist mir noch nicht klar genug. Wieso kann man das folgern?

30.05.2017, 09:33

ANDI123456

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Ich meinte natürlich $\begin{eqnarray*} I_j (t) = O(t ^{-N} ) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N \ge 0 \end{eqnarray*}$ .

30.05.2017, 10:49

IfindU

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RE: Stationäre Phase
Ich kann nur vermuten. Du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} I_j(t) \sim \frac{1}{(2\pi)^d} f_j(k_0) \vert det(H^{(j)}(k_0))\vert^{-1/2}\exp\left( it w_j(k_0) +\frac{i\pi \sigma}{4}\right)\left(\frac{2\pi}{t}\right)^{d/2} \end{eqnarray*}$ , wobei mit $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn die ganzen Vorfaktoren NICHT 0 sind, dann ist $\begin{eqnarray*} I_j(t) \sim t^{-d/2} \end{eqnarray*}$ wie wir am Anfang festgestellt haben. Insbesondere gilt dann nicht, dass $\begin{eqnarray*} I_j (t) = O(t^{-N}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} N \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
D.h. irgendetwas liefert zusaetzlichen Abfall. Da die Terme unabhängig von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ sind, müssen diese schon 0 sein. Kann man daraus das gewünschte folgern?

30.05.2017, 11:18

ANDI123456

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Ich habe nochmal in die Literartur reingeschaut und dort steht genauer:

Die Aussgae $\begin{eqnarray*} I_j (t) = O(t^{-N}) \end{eqnarray*}$ soll für alle $\begin{eqnarray*} N\ge 0, t\to \infty \end{eqnarray*}$ und es soll noch gelten, dass $\begin{eqnarray*} \nabla f_j \neq 0 \end{eqnarray*}$ auf dem Träger von $\begin{eqnarray*} f_j \end{eqnarray*}$ und es existiert kein $\begin{eqnarray*} \tilde{k} \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \nabla w_j(\tilde{k}) =0 \end{eqnarray*}$ (nicht-stationäre Prozesse) .

Hilft das weiter?

30.05.2017, 11:24

IfindU

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Ok. Wir haben also $\begin{eqnarray*} I_j(t) = O(t^{-d/2}) \end{eqnarray*}$ im stationären Fall, und $\begin{eqnarray*} I_j(t) = O(t^{-N}) \end{eqnarray*}$ für alle N, insbesondere $\begin{eqnarray*} N > d/2 \end{eqnarray*}$ , im nicht-stationären Fall.

Also dominiert der stationäre Fall. Kann das gemeint sein?

30.05.2017, 11:46

ANDI123456

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Ja, genau das ist gemeint

30.05.2017, 12:43

IfindU

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Ist es dir nun "klar" genug? Big Laugh

30.05.2017, 13:10

ANDI123456

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Ja, denn dies gilt für jedes N. Man nehme also ein sehr großes N>d/2 so dass t ungefähr gleich 0 ist. Damit dominiert offensichtlich der stationäre Fall. Richtig begeründet?
Danke für deine Hilfe!

30.05.2017, 13:18

IfindU

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Zitat:

Man nehme also ein sehr großes N>d/2 so dass t ungefähr gleich 0 ist

Was meinst du mit "t ungefaehr gleich 0"? Wir schicken $\begin{eqnarray*} t \to \infty \end{eqnarray*}$ .

30.05.2017, 13:38

ANDI123456

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Ich meinte wähle N>d/2 so dass t^(-N) deutlich schneller gegen 0 komvergiert

30.05.2017, 13:44

IfindU