Kompaktheit in unendlichdimensionalen Räumen

23.05.2017, 11:40

dubbox

Kompaktheit in unendlichdimensionalen Räumen

Meine Frage:
Ich tüftel mal wieder an einer schönen Aufgabe unseres Profs und habe mal wieder so meine Problemchen Big Laugh

Sei $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller reellen Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , für die gilt

$\begin{eqnarray*} ||a_n||_1:=\sum\limits_{n=0}^{\infty} |a_n|<\infty \end{eqnarray*}$

Zusammen mit der oben definierten Norm $\begin{eqnarray*} ||\cdot||_1 \end{eqnarray*}$ , ist dieser ein unendlichdimensionaler Banachraum.

a) Zeigen Sie, dass die Menge $\begin{eqnarray*} S^0:=\left\{(x_n)_{n\in\mathbb N} \in l^1 : ||(x_n)_{n\in\mathbb N}||_1 = 1 \right\} \subseteq l^1 \end{eqnarray*}$ beschränkt und abgeschlossen ist.

b)Wir betrachten nun eine Folge in $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ , welche wir mit $\begin{eqnarray*} (x^{(k)}_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ bezeichnen wollen. Da für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} x^{(k)} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ liegt, heißt das, dass $\begin{eqnarray*} x^{(k)} \end{eqnarray*}$ selbst wieder eine Folge ist, also eigentlich $\begin{eqnarray*} (x^{(k)}_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ . Wir definieren diese Folge von Folgen nun durch

$\begin{eqnarray*} x^{(k)}_n=\begin{cases}1 \text{ ,wenn n=k}\\ 0\text{ , sonst.}\end{cases} \end{eqnarray*}$

(i) Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (x^{(k)})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ liegt.
(ii) Zeigen Sie ,dass die Folge $\begin{eqnarray*} (x^{(k)})_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ keine konvergente Teilfolge besitzt.

Meine Ideen:
a)

Ist $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \in S^0 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} ||x_n||_1=\sum\limits_{n=0}^{\infty} |x_n|=1 \end{eqnarray*}$ also konvergieren alle Reihen in $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ absolut gegen den Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Zur Beschränktheit, die Menge ist nach ihrer Definition schon durch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ beschränkt, da eine Menge $\begin{eqnarray*} M \subseteq V \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, wenn ein $\begin{eqnarray*} C \geq 0 \end{eqnarray*}$ existiert so dass $\begin{eqnarray*} ||x||_V \leq C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ gilt. Hier gilt sogar $\begin{eqnarray*} ||x||_V = C = 1 \end{eqnarray*}$ .

Zur Abgeschlossenheit, wenn ich das richtig verstehe, folgt das auch unmittelbar aus der Definition. Da jede Folge in $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat und dieser auch in $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ liegt (wie zeige ich das hier genau?), gilt auch die Abgeschlossenheit.

b)

Erst einmal bedeutet die Definition der Folge $\begin{eqnarray*} x^{(k)}_n \end{eqnarray*}$ hier nur, dass die Folge für jedes $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ konstant $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist und einmal bei $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ annimmt.

(i)
Da eben für jedes $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ gilt,folgt daraus, dass für jedes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ das wir wählen gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{(k)} = 1 \end{eqnarray*}$ woraus direkt folgt $\begin{eqnarray*} x^{(k)} \in S^0 \end{eqnarray*}$ .

(ii)
Hier bin ich dann überfragt, ich denke das dies hier ein Beispiel dafür sein soll, das der Satz von Bolzano-Weierstraß eben nicht für unendlichdimensionale normierte Räume gilt, bzw. es in unendlichdimensionalen Räumen zwar Mengen gibt die abgeschlossen und beschränkt sind, aber nicht kompakt. Aber wie zeige ich das ganze nun? Geht das über Häufungspunkte? Wobei ich dann den Ansatz nicht sehen würde.

Vielen Dank schon einmal für die Zeit und die Hilfe!

23.05.2017, 11:53

IfindU

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RE: Kompaktheit in unendlichdimensionalen Räumen

Zitat:

Original von dubbox
Zur Abgeschlossenheit, wenn ich das richtig verstehe, folgt das auch unmittelbar aus der Definition. Da jede Folge in $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ hat und dieser auch in $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ liegt (wie zeige ich das hier genau?), gilt auch die Abgeschlossenheit.

Du unterscheidest hier nicht zwischen der Norm der Folge und der Folge selbst. Was du zeigen musst. Seien $\begin{eqnarray*} (x^k) \subset S^0 \end{eqnarray*}$ d,h. eine Folge von Folgen! Du musst zeigen, dass falls $\begin{eqnarray*} x^k \to x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, so gilt $\begin{eqnarray*} x \in S^0 \end{eqnarray*}$ . Das folgt aus der Dreiecksungleichung.

Zitat:

Original von dubbox
(ii)
Hier bin ich dann überfragt, ich denke das dies hier ein Beispiel dafür sein soll, das der Satz von Bolzano-Weierstraß eben nicht für unendlichdimensionale normierte Räume gilt, bzw. es in unendlichdimensionalen Räumen zwar Mengen gibt die abgeschlossen und beschränkt sind, aber nicht kompakt. Aber wie zeige ich das ganze nun? Geht das über Häufungspunkte? Wobei ich dann den Ansatz nicht sehen würde.

Angenommen es gibt eine konvergente Teilfolge. Dann existiert ein Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass dann $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x_n = 0 \end{eqnarray*}$ fuer alle $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Warum ist das ein Widerspruch zu a)?

24.05.2017, 08:36

dubbox

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RE: Kompaktheit in unendlichdimensionalen Räumen

Zitat:

Hier geht es doch noch gar nicht um $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ oder? Meine Idee hier war, das ja nach der Definition von $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} x_n\in S^0 \end{eqnarray*}$ als Reihe betrachtet gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ konvergieren, somit müssen es Nullfolgen sein. Aber dann wäre ja der Grenzwert aller Folgen in $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ doch dieser ist ja nicht Element von $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ oder?

Zitat:

Also im Prinzip ist ja der Grenzwert für jede Folge aus $\begin{eqnarray*} x^{(k)}_n \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , somit müsste auch jede Teilfolge der Folgen aus $\begin{eqnarray*} x^{(k)}_n \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, was bedeutet der Grenzwert der Folge aus Folgen $\begin{eqnarray*} x^{(k)}_n \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , aber ich sehe hier nicht wirklich den Widerspruch :/ Bzw. ich denke sogar es gibt konvergente Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} x^{(k)} \end{eqnarray*}$ , ich verstehe nicht wieso z.B $\begin{eqnarray*} (x^{(1)}_n)_{n\in\mathbb N}:n=1,3,5,7... \end{eqnarray*}$ nicht eine konvergente Teilfolge sein sollte? Die ist ja nach dem ersten Glied doch die ganze Zeit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und ebenso ist es eine Teilfolge. verwirrt

24.05.2017, 10:47

IfindU

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RE: Kompaktheit in unendlichdimensionalen Räumen

Zitat:

Original von dubbox
Hier geht es doch noch gar nicht um $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ oder? Meine Idee hier war, das ja nach der Definition von $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} x_n\in S^0 \end{eqnarray*}$ als Reihe betrachtet gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ konvergieren, somit müssen es Nullfolgen sein. Aber dann wäre ja der Grenzwert aller Folgen in $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ eben $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ doch dieser ist ja nicht Element von $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ oder?

Schreibe dir mal die Definition von Abgeschlossenheit für einen allgemeinen normierten Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf. Dann ersetze $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ und schaue was überhaupt zu zeigen ist.

Mal anders. Offenbar bringt es dich sehr durcheinander Folgen von Folgen zu haben. Ein reelle Folge ist eine Abbildung $\begin{eqnarray*} x : \mathbb N \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Anstatt die Kürzel $\begin{eqnarray*} x_n := x(n) \end{eqnarray*}$ zu setzen, behalten wir die Funktionsschreibweise bei.

Also hast du $\begin{eqnarray*} \ell^1:= \{ f : \mathbb N\to \mathbb R: \sum_{k=1}^\infty |f(k)| < \infty\} \end{eqnarray*}$ . Um Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen, musst du eine Folge von Funktionen $\begin{eqnarray*} f^k \end{eqnarray*}$ nehmen, die in $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergieren. Nun musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \in S_0 \end{eqnarray*}$ liegt. Ist das klarer?

24.05.2017, 13:29

dubbox

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Okay, ich bin noch etwas am stolpern über den Begriff, das etwas gegen eine Folge konvergiert. Ist das dann einfach so, dass $\begin{eqnarray*} f^k \end{eqnarray*}$ gegen den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvergiert?

Per Definition ist ja die Menge $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ dann abgeschlossen, wenn jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die in $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, der Grenzwert ein Element von $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ ist.

Also sind alle Folgen zu untersuchen, für die gilt $\begin{eqnarray*} ||x_n||_1 = 1 \end{eqnarray*}$ Was mich hier verwirrt ist wohl, das der Grenzwert eine Zahl ist, jedoch $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ aus Folgen besteht. Was du mir wohl sagen willst, ist dass unser Raum $\begin{eqnarray*} l^1 \end{eqnarray*}$ aus Folgen von Folgen besteht, die gegen Folgen konvergieren oder? Aber ich hab da ne Denkblockade, klammere mich so an den Grenzwert als Zahl.

24.05.2017, 14:16

IfindU

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Es ist nach Definition: $\begin{eqnarray*} f^k \to f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \| f^k - f\|_{\ell^1} = \sum_{l = 1}^\infty | f^k(l) - f(l) | \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} k \to \infty \end{eqnarray*}$ .

Das bedeutet insbesondere punktweise Konvergenz, dass also für alle $\begin{eqnarray*} l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f^k(l) \to f(l) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ als Folge von reellen Zahlen. (Oder damit es noch aehnlicher zur Konvergenz von Funktionen ist, mal die Umbennenung von $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , d.h. dann: $\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f^k(x) \to f(x) \end{eqnarray*}$ . )Aber die Bedingung ist echt schwächer als die da oben. Ein Beispiel wo die Funktionfolge punktweise konvergiert, aber nicht in $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ hast du in b) gegeben und sollst das zeigen.

Und der Grenzwert einer Folge ist eine Zahl. Die hier ist 0. Aber der ist hier nicht gefragt. Ähnlich wie man bei eine Konvergenz von Funktionen nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f^k(x) \end{eqnarray*}$ untersucht, sondern eben $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} f^k(x) \end{eqnarray*}$ .

Und nein, $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ besteht aus Folgen, nicht aus Folgen von Folgen. Es sind alle Folgen, die absolut summierbar sind. Und $\begin{eqnarray*} S^0 \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge davon. Bsp. fuer Elemente (d.h. Folgen) in $\begin{eqnarray*} S_0 \end{eqnarray*}$ wären $\begin{eqnarray*} (a_n) = (1,0,0,0,0, ... ) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b_n = ( \frac 12, \frac 1 4, \frac 1 8, \frac 1 {16}, \ldots) \end{eqnarray*}$ .

Also: Der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ wäre natürlich 0. Aber definieren wir nun eine Folge von Folgen, z.B. $\begin{eqnarray*} (a_n^k) := ( 1+ \frac 1 k, 0, 0,0,0, \ldots) \end{eqnarray*}$ , so konvergiert die Folge gegen die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ von oben in $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ . Also
$\begin{eqnarray*} (1 + \frac 1 k, 0, 0,0,0, \ldots ) \to (1,0,0,0,0,\ldots) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ .
Und noch einmal die Warnung: Wie schon gesagt konvergieren alle Einträge der Folge gegen die entsprechenden Einträge. Aber das reicht nicht für $\begin{eqnarray*} \ell^1 \end{eqnarray*}$ -Konvergenz. Genausowenig wie punktweise Konvergenz ausreicht um gleichmäßige Konvergenz von Funktionen zu folgern.

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