Noetherscher Hausdorff-Raum

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23.05.2017, 15:03	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Noetherscher Hausdorff-Raum Meine Frage: Ich soll zeigen, dass ein Hausdorffraum X noethersch ist, wenn X eine endliche Menge ist. Meine Ideen: Leider hab ich absolut keine Idee, wie ich das zeigen soll. Die Definition von hausdorff (wie bei Wikipedia) kenne ich.
23.05.2017, 16:13	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder endliche topologische Raum ist noethersch - unabhängig davon, ob er hausdorffsch ist oder nicht. Diese Voraussetzung braucht man also überhaupt nicht. Wie lautet denn deine Definition eines noetherschen Raumes?
23.05.2017, 16:27	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn jede absteigende Kette abgeschlossener Mengen stationär wird, so lautet meine Definition.
23.05.2017, 16:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was kannst du über die Topologie auf X sagen, wenn X endlich ist?
23.05.2017, 16:37	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
die diskrete topologie ist die einzige auf einer endlichen menge bzw. es gibt nur eine topologie auf einer endlichen menge, oder?
23.05.2017, 16:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt nicht. Z.B. sind $\begin{eqnarray} \{X, \emptyset\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal P(X) \end{eqnarray}$ zwei verschiedene Topologien auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ (falls $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ mehr als ein Element besitzt). Es gibt aber noch viel mehr. Z.B. ist für $\begin{eqnarray} X=\{1,2,3\} \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}\} \end{eqnarray}$ eine Topologie auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Was aber für jede Topologie auf einem endlichen Raum gilt: Sie ist endlich (weil eine endliche Menge nur endlich viele Teilmengen besitzt). Wie müssen dann absteigende Ketten abgeschlossener Mengen aussehen?
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23.05.2017, 16:46	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, das ist klar, danke Naja die Ketten hören irgendwann wegen der Endlichkeit auf oder? Und werden dann automatisch stationär? ...ne da bin ich mir unsicher
23.05.2017, 16:52	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
"Aufhören" ist vielleicht das falsche Wort. Wenn eine Kette stationär wird, ist sie ja trotzdem nicht "zu Ende". Nehmen wir mal eine absteigende Kette abgeschlossener Mengen $\begin{eqnarray} A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq ... \end{eqnarray}$ Wie kann man jetzt ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ finden, sodass für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} A_n=A_{n_0} \end{eqnarray}$ ? (Einfach nur zu sagen, dass das ja automatisch so sein muss, ist übrigens kein Beweis. )
23.05.2017, 17:01	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das weiß ich nicht bzw bekomm ich nicht hin, weils irgendwie ja klar ist
23.05.2017, 17:04	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es "irgendwie klar" ist, muss es man ja auch einfach begründen können. Übrigens brauchst du gar nicht, dass die Mengen $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ abgeschlossen sind. Man muss nur benutzen, dass es nur endlich viele Teilmengen von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gibt. Ich muss jetzt erstmal weg. Mach dir nochmal Gedanken, vielleicht fällt dir ja etwas ein.
23.05.2017, 18:08	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bekomms nicht hin
23.05.2017, 18:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir benutzen, dass $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ endlich ist, so definiert $\begin{eqnarray} a_n = \|A_n\| \end{eqnarray}$ eine reelle Zahlenfolge. Zeige, dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ konvergiert und denke drueber nach was du ueber den Grenzwert sagen kannst und was es impliziert.
23.05.2017, 18:24	lissy1234567	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh okay, danke Ich glaub, das reicht schon!

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