Verständnisfrage Transformationssatz

23.05.2017, 21:56

hannelore122

Verständnisfrage Transformationssatz

Meine Frage:
In großen und ganzen kann ich mit dem Transformationssatz umgehen, habe aber einige Verständnisschwierigkeiten in der formalen Schreibweise...

Der Satz lautet: $\begin{eqnarray*} \int_{U} \! f(\psi(x))| det(\psi'(x)) | \, d\lambda(x) =\int_{\psi(U)} \! f(y) \, d\lambda(y) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wir hatten folgendes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R^{2}} \! e^{-(x^{2}+y^{2})} \, d\lambda(x,y)=\int_{0}^{\infty} \! \int_{0}^{2\pi } \! re^{-r^{2}} \, d\phi \, dr \end{eqnarray*}$

Hier substituierten wir sozusagen $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}=r \end{eqnarray*}$ (Polarkoordinaten), aber woher weis ich jetzt welche Grenzen ich wählen muss?

Wenn ich dieses Bespiel mit den oben dargestellten Satz vergleiche, entspricht die Menge $\begin{eqnarray*} \left[0,\infty\right] \times \left[0,2\pi\right] \end{eqnarray*}$ sozusagen den $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[-\infty,\infty\right] \times \left[-\infty,\infty\right] \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} \psi(U) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \psi(r,\phi)=(rcos(\phi),rsin(\phi)) \end{eqnarray*}$ . Verstehe ich das richtig? erhalte ich als die neuen grenzen indem ich also $\begin{eqnarray*} \left[-\infty,\infty\right] \times \left[-\infty,\infty\right] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \psi^{-1} \end{eqnarray*}$ einsetze?

23.05.2017, 22:21

HAL 9000

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RE: Verständnissfrage Transformationssatz

Zitat:

Original von hannelore122
Wenn ich dieses Bespiel mit den oben dargestellten Satz vergleiche, entspricht die Menge $\begin{eqnarray*} \left[0,\infty\right] \times \left[0,2\pi\right] \end{eqnarray*}$ sozusagen den $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[-\infty,\infty\right] \times \left[-\infty,\infty\right] \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} \psi(U) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \psi(r,\phi)=(rcos(\phi),rsin(\phi)) \end{eqnarray*}$ . Verstehe ich das richtig? erhalte ich als die neuen grenzen indem ich also $\begin{eqnarray*} \left[-\infty,\infty\right] \times \left[-\infty,\infty\right] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \psi^{-1} \end{eqnarray*}$ einsetze?

Nun, wenn man es genau nimmt, wird

$\begin{eqnarray*} \left(0,\infty\right) \times \left[0,2\pi\right) \end{eqnarray*}$ bijektiv (!) auf $\begin{eqnarray*} \left( \left(-\infty,\infty\right) \times \left(-\infty,\infty\right) \right)\setminus \{(0,0)\} = \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \end{eqnarray*}$

abgebildet - das ist eine ganz normale Polarkoordinatentransformation bzw. -rücktransformation der gesamten Ebene mit Ausnahme des Ursprungs.

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