Basis Polynom

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23.05.2017, 23:13	Svennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Polynom Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem und zwar weiß ich ab einer gewissen stelle einfach nicht weiter. Ich möchte von einem Polynom die Basis bestimmen. [attach]44499[/attach] Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> p(x) = a_0 + xa_1 + x^2a_2 + x^3a_3 = y<br /> p^{'}(x) = a_1 + 2xa_2 + 3x^2a_3 = y<br /> p^{''}(x) = 2a_2 + 6xa_3 = y<br /> p^{'''}(x) = 6a_3 = y<br /> \end{eqnarray}$ Nun habe ich Probleme beim Auflösen. Kann mir dabei jemand helfen?
24.05.2017, 09:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast viel mehr Probleme, als du glaubst. Du sollst nicht die Basis von einem Polynom bestimmen, du sollst prüfen, ob $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} P_3 \end{eqnarray}$ ist. Wenn ja, sollst du eine Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ berechnen. Wenn du die Basis hast, ist auch die Dimension von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ bekannt. Warum du $\begin{eqnarray} p(x)=y \end{eqnarray}$ schreibst und dann die Ableitungen von Funktionen berechnest, weiß ich nicht. Dass diese Ableitungen auch noch gleich $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ sein sollen, ist mit Sicherheit falsch. Tipp: Lies nach, was ein Vektorraum ist, und schlage das Untervektorraum-Kriterium nach. Versuche zu verstehen, was eine Basis ist und wie die Dimension eines Vektorraums definiert ist. Definitionen sind wichtig, ohne diese geht gar nichts.
26.05.2017, 23:10	svennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich habe mir das alles ochma genau angesehen. Den Unterraum kann ich auch meines erachtens ohne Probleme bestimmen. Das Problem ist nur das herleiten der Basis. Da sagte mein Dozent mir, das ich das Polynom aufstellen und dies dann ableiten soll. Anschließend soll ich die Ablitungen genauer betrachten. Ich kann mir beim besten willen keine Herleitung zu der Basis annähernd so vorstellen, kannst du mir villeicht dabei eine hilfe geben?
27.05.2017, 10:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll das heißen, dass du den Unterraum ohne Problem bestimmen kannst ? Darum geht es gar nicht. a) Du musst beweisen, dass $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein Untervektorraum ist, weil sonst die ganze Aufgabe sinnlos ist. Nur Vektorräume haben Basen und Dimensionen. b) Lass den Quatsch mit Ableitungen sein. Beachte $\begin{eqnarray} p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3=a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray}$ und mach daraus etwas sinnvolles. c) ist nach b) klar.
27.05.2017, 20:46	svennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a Da Entschuldige ich mch, da ich mich nicht eindeutig ausgedrückt habe. Ich meinte mit bestimmen "beweisen". Bei dem Beweisen liegt nicht das Problem, sondern beim Herleiten. Zu b Ich weiß nicht wie du auf die Form $\begin{eqnarray} a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray}$ kommst, könntest du mir das eventuell näher erläutern? Ich verstehe das bisher so, dass ich die Lineare Unabhägigkeit des Polynoms prüfen muss, damit ich eindeutig schreiben kann, um welche Basis sich es in diesem Fall handelt. Nur halte ich mich an diesem Fall an das normale Polynom oder an den spezialfall mit der doppelten Nullstelle? An dieser Stelle einmal, ich versuche wirklich auf ein vernünftiges Ergebnis zu kommen, da ich dieses Modul vernünftig bestehen will und möchte hier nicht nur die Lösung abgreifen. Daher bin ich wirklich für jede Unterstützung sehr dankbar. Zu c Die Dimension aus der Basis zu bestimmen ist mir auch klar.
27.05.2017, 21:33	svennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe glaub ich eine brauchbare Lösung und wollte euch mal nach der Richtigkeit fragen. $\begin{eqnarray} <br /> p(-2) = a_0 + a_1 x + a_2 * x^2 + a_3 * x^3 = 0<br /> a_0 - 2 * a_1+ 4 * a_2 - 8 * a_3 = 0 <br /> a_0 = 2 * a_1- 4 * a_2 + 8 * a_3<br /> <br /> a_0 - 2 * a_1+ 4 * a_2 - 8 * a_3 = 0<br /> \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ einsetzen $\begin{eqnarray} <br /> 2 * a_1- 4 * a_2 + 8 * a_3 - 2 * a_1+ 4 * a_2 - 8 * a_3 = 0 => 0 = 0<br /> \end{eqnarray*}$ Demnach wäre die Basis dann (a_0,a_1,a_2,a_3) und die Dimension wäre 4
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27.05.2017, 21:59	svennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich bei der Basis vertan. Die müsste aufbauend auf meinen berechnungen dann so lauten $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2a_1 - 4a_2 +8a_3 \\ -2a_1 \\ 4a_2 \\ -8a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a_1 \\ -2a_1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - 4a_2 \\ 0 \\ 4a_2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8a_3 \\ 0 \\0 \\ -8a_3 \end{pmatrix} = a_1\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} +a_2 * \begin{pmatrix} - 4 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + a_3 * \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\0 \\ -8 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ Das müsste die Basis sein
28.05.2017, 08:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist immer noch auf ein bestimmtes Polynom fixiert, das bringt nichts. Du musst dich mit den Begriffen Vektorraum, UVR-Kriterium, Basis, Dimension beschäftigen, sonst kannst du diese Aufgabe nicht bearbeiten. Schon ganz am Anfang habe ich gesagt, dass ein Polynom keine Basis und keine Dimension hat; jeder Vektorraum hat eine Basis und eine eindeutig bestimmte Dimension. Nach dem Fundamentalsatz der klassischen Algebra hat jedes komplexe Polynom vom Grad 3 genau 3 komplexe Nullstellen, also hat auch jedes reelle Polynom vom Grad 3 genau 3 komplexe Nullstellen. Damit lässt sich das Polynom schreiben als $\begin{eqnarray} p(x)=a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray}$ . Die Form wird stark vereinfacht, wenn $\begin{eqnarray} x_0=x_1=-2 \end{eqnarray}$ ist, dann ist übrigens auch $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ reell.
29.05.2017, 21:49	svennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, ich wende mich mal hier direkt an dich und zwar habe ich mich auch nochmal mit meiner Lerngruppe zusammen gesetzt und das mit dem Fundamental Satz der klassischen Algebra kommt uns ein wenig komisch vor (wir verstehen das nicht). Das einzige was wir uns darunter vorstellen können ist das charakteristische Polynom, welches wir verwenden würden (we genau ist noch unklar) um die Basis zu bestimmen. Ich bin wirklich froh das du mir/uns hilfst, verzweifeln ein wenig an der Aufgabe.
29.05.2017, 22:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand kurz über die Straße helfen: Ich dachte doppelte Nullstelle bei x=-2 bedeutet, dass man den Faktor x+2 genau zweimal abspalten kann. Hier ist das offenbar im Sinne von mindestens zweimal gemeint. Ist das die gängige Interpretation?
29.05.2017, 22:23	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL: Da ist die allgemeine Verwendung etwas schwammig. Einige meinen mit n-facher Nullstelle eine Nullstelle mit Nullstellenordnung genau n, andere mindestens n.
29.05.2017, 22:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
@tatmas: Danke für die prompte Erhellung
29.05.2017, 22:38	svennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich helfe dir gerne über die Straße, wenn du mir sagst wie ich die Basis von dem Polynom herleite, denn genau auf ein brauchbares Ergebnis komme ich nicht, selbst mit meiner Lerngruppe...
29.05.2017, 22:45	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
@svenn: Ein Polynom hat keine Basis. Ein (Unter-)Vektorraum hat sowas. Das hat aber Elvis aber auch schon gesagt. Du musst ganz, ganz dringend dir die Grundbegriffe aneignen. Kannst du zeigen, dass jedes Polynom mit -2 als zweifacher Nullstelle die Form $\begin{eqnarray} a(x+2)^2(x-b) \end{eqnarray}$ (a,b reell) hat? Kennst du von dieser Darstellung eine Basis bestimmen?
29.05.2017, 22:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Elvis schon sagte, hat ein Polynom keine Basis. Meine Frage diente auch nur meinem Verständnis. In meiner Welt war U nicht einmal ein Vektorraum, konnte also auch keine Basis haben. Wenn U ein Vektorraum ist - und das musst du noch zeigen - hat er eine Basis Edit Hier ist schon mehr als genug Kompetenz versammelt.
29.05.2017, 23:21	svennn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dafür entschuldige ich mich nochmals, ich vergesse immer wieder die richtigen Begriffe Also ich kann von dem Unterraum keine Basis bestimmen. @Tatmas müsste dabei die Basis nicht der reine Nullvektor sein? Ich bin jetzt ein wenig verwirrt Ich weiß es klingt ein wenig gebettelt, kannst du mir das eventuell ein wenig ausführlich erklären?
29.05.2017, 23:42	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach der Defintion des Begriffs zweifache Nullstelle läaast sich jedes Polynom in U (außer dem Nullpolynom) schreiben als: $\begin{eqnarray} (x+2)^2(ax+b) \end{eqnarray}$ (a,b reell) . Und da jetzt zwei Koeffizienten frei wählbar sind ist eine Basis $\begin{eqnarray} (x+2)^2, x(x+2)^2 \end{eqnarray}$ . ICh wüßte nicht was man da noch groß mehr sagen kann.
30.05.2017, 08:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann noch sagen, dass der Untervektorraum U die Dimension 2 hat. Es fehlt noch immer der Beweis, dass U ein Untervektorraum ist. Das Nullpolynom ist 0= $\begin{eqnarray} (x+2)^2\cdot (0x+0)\in U \end{eqnarray}$

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