Dim von Pol(F3)

24.05.2017, 09:33

Mathlete1

Dim von Pol(F3)

Meine Frage:
Es sei Pol(K) der Vektorraum der Polynomialabbildungen über dem Körper K. Bestimmen Sie die Dimension von Pol(F3).

Meine Ideen:
Ich habe die Vermutung, dass dim(Pol(F3))>= 3 ist, aber ich kann es irgendwie nicht begründen.

Ich bin über jede Hilfe dankbar! smile

24.05.2017, 11:25

Elvis

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Berechne die kleinsten Polynomfunktionen, dann siehst du, welche Polynome die (endlich vielen !) Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb F_3\to \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ darstellen.

24.05.2017, 11:36

Mathlete1

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Okay, wenn ich für F3 das Polynom aufstelle folgt: a2x^2+a1x+a0.

Dann kann ich eine Matrix aufstellen, die aussieht wie die Einheitsmatrix, die ich dann gleich 0 setze. Daraus folgt trivial a1=a2=a3=0, und deswegen linear unabhängig.

Dies wäre aber nur mit Dimension 3, aber ist es hier nicht >=3?

24.05.2017, 12:13

Elvis

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Hier liegt vielleicht ein kleines Mißverständnis vor. Es ist nach dem Raum der Abbildungen gefragt, nicht nach einem Raum von Polynomen. Was Matrizen damit zu tun haben, verstehe ich nicht.

24.05.2017, 14:02

Mathlete1

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Okay aber würde dann nicht gelten f Element Pol(F3)
Sodass folgt f2x^2+f1x+f0?

Ich verstehe überhaupt nicht wie ich hier eine Basis aufstellen soll.

24.05.2017, 14:13

system-agent

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Nur ein kurzer Zwischenvorschlag: Gib vielleicht erstmal eure Definition von $\begin{eqnarray*} \text{Pol}(\mathbb F_3) \end{eqnarray*}$ an. Sind das alle Polynome oder nur welche bis zu einem gewissen Grad?

24.05.2017, 14:13

Elvis

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Ich bin so vorgegangen, dass ich zuerst alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb F_3\to \mathbb F_3, x\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ aufgestellt und abgezählt habe. Dann habe ich Polynome $\begin{eqnarray*} p(X)\in \mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$ betrachtet und die zugehörigen Polynomfunktionen $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ mit den $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ verglichen. Geringer Aufwand, und es wird sehr schnell klar, welcher Zusammenhang zwischen Polynomen, Polynomfunktionen und Funktionen besteht. Da alles Vektorräume sind, sieht man sofort die Isomorphismen und hat damit die Basen. (Eine Theorie habe ich nicht parat, aber bei derart winzigen Beispielen schadet das direkte Vorgehen wenig.)
@system-agent: Es geht um Funktionen, nicht um Polynome.

24.05.2017, 17:11

Mathlete1

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Danke schonmal!
Also das mit f habe ich verstanden. Wenn ich dies abzähle komme ich auf 3.
Nur ist mir noch nicht ganz klar wie p(x) ∈ F3(x) auszusehen hat.
Sähe das dann so aus: p0(x)=f0, p1(x)=f1⋅x und p2(x)=f2⋅x^2

Ich bin mir im F3 noch sehr unsicher und kann mir das nicht so gut vorstellen.

Und noch eine Frage: Wieso sind das jetzt Vektorräume? ich dachte es geht um Abbildungen und die sind doch eindimensional oder täusche ich mich jetzt komplett verwirrt

24.05.2017, 17:53

Elvis

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Oh weh.

Wie kommst du auf 3 Funktionen ? Hier sind 5 zufällig ausgewählte Funktionen, und es gibt noch endlich viele mehr:

$\begin{eqnarray*} 0\mapsto 1, 1\mapsto 2, 2\mapsto 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\mapsto 1, 1\mapsto 0, 2\mapsto 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\mapsto 1, 1\mapsto 2, 2\mapsto 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\mapsto 1, 1\mapsto 0, 2\mapsto 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\mapsto 1, 1\mapsto 1, 2\mapsto 0 \end{eqnarray*}$

Hier sind 5 zufällig ausgewählte Polynome, und es gibt unendlich viele mehr

$\begin{eqnarray*} p(X)=X, q(X)=1+X+X^2, r(X)=X^2+X^3, s(X)=2+X^3+2X^4, t(X)=1+X^3+2X^5 \end{eqnarray*}$

Damit sind die Polynomabbildungen wie folgt gegeben (wenn ich mich nicht verrechnet habe)

$\begin{eqnarray*} p(x):\mathbb F_3\to \mathbb F_3,0\mapsto 0, 1\mapsto 1, 2\mapsto 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q(x):\mathbb F_3\to \mathbb F_3,0\mapsto 1, 1\mapsto 0, 2\mapsto 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r(x):\mathbb F_3\to \mathbb F_3,0\mapsto 0, 1\mapsto 2, 2\mapsto 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s(x):\mathbb F_3\to \mathbb F_3,0\mapsto 2, 1\mapsto 2, 2\mapsto 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t(x):\mathbb F_3\to \mathbb F_3,0\mapsto 1, 1\mapsto 1, 2\mapsto 1 \end{eqnarray*}$

Abbildungen kann man punktweise addieren und mit Körperelementen punktweise skalar multiplizieren, alle gewünschten Regeln gelten, also bilden Abbildungen Vektorräume über Körpern.

Abbildungsräume sind der Prototyp für Vektorräume, denn für eine beliebige Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und einen beliebigen Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} V=Abb(M,K)=\{f:M\to K,x\mapsto f(x)\} \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum mit punktweisen Vektorraumoperationen. Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} K^n=Abb(\{1,...,n\},K) \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionale Standardvektorraum über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .

24.05.2017, 18:34

Mathlete1

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okay und wie kann ich dadurch die Isomorphismen und die Basis ablesen?
Muss ich jetzt noch die endlich vielen Möglichkeiten von den Funktionen rausfinden?

Es tut mir leid, wenn mir das alles nicht sofort klar ist. Polynome und der F3 sind nicht meine Stärken traurig

24.05.2017, 18:39

Elvis

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Ja, du sollst arbeiten. Ich habe dir gesagt, wie ich es gemacht habe, das dauert (mit Excel) eine Viertelstunde. Au dem Papier darfst du gerne eine halbe Stunde rechnen. Das ist eine hervorragende Übung, nur so kommst du zu einem tieferen Verständnis. Der Energieerhaltungssatz lehrt uns: "von nix kommt nix". Augenzwinkern

24.05.2017, 18:45

Mathlete1

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okay danke, werde mich sofort dransetzen! Freude

Ist es aber jetzt tatsächlich so, dass dann die Dimension die Anzahl der funktionen ist die ich rausbekomme?

24.05.2017, 18:51

Elvis

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Nein, das habe ich auch nicht behauptet.

24.05.2017, 18:57

Mathlete1

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dann verstehe ich nicht ganz was ich zu tun habe, wenn ich die Funktionen ausgerechnet habe.
Tut mir leid.

24.05.2017, 19:07

Elvis

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Zitat:

Original von Elvis
Ich bin so vorgegangen, dass ich zuerst alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb F_3\to \mathbb F_3, x\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ aufgestellt und abgezählt habe. Dann habe ich Polynome $\begin{eqnarray*} p(X)\in \mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$ betrachtet und die zugehörigen Polynomfunktionen $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ mit den $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ verglichen. Geringer Aufwand, und es wird sehr schnell klar, welcher Zusammenhang zwischen Polynomen, Polynomfunktionen und Funktionen besteht. Da alles Vektorräume sind, sieht man sofort die Isomorphismen und hat damit die Basen. (Eine Theorie habe ich nicht parat, aber bei derart winzigen Beispielen schadet das direkte Vorgehen wenig.)
@system-agent: Es geht um Funktionen, nicht um Polynome.

24.05.2017, 19:19

Mathlete1

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Okay, ich glaube ich hab jetzt erst wirklich verstanden, was du bei den polynomialabbildungen gemacht hast Gott

ich habe jetzt alle möglichen Funktionen aufgeschrieben und komme nun darauf dass 6 davon Isomorphismen sind. Ich gehe jetzt davon aus, dass ich für diese 6 jetzt jeweils ein Polynom finden muss, welche dann zusammen eine Basis bilden?

24.05.2017, 19:35

Elvis

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Das ist nicht die Aufgabe und nicht die Lösung. Wenn du alle Funktionen f(x) hast, musst du daraus die polynomialen Funktionen herausfinden.

Zu dem Zweck habe ich Polynome p(X) von kleinem Grad aufgestellt und die dazu gehörigen polynomialen Funktionen p(x) mit den Funktionen f(x) verglichen.

Das habe ich jetzt schon zum 3. mal geschrieben.

24.05.2017, 19:54

Mathlete1

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okay, sorry. Ich verstehe die Aufgabe einfach nicht. Ist egal.

24.05.2017, 21:49

URL

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Kann man nicht argumentieren, dass man das Interpolationsproblem immer eindeutig mit einem Polynom vom Grad höchstens zwei lösen kann?

24.05.2017, 22:00

Mathlete1

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Interpolationsprobleme hatten wir noch nicht in der Vorlesung, deswegen schätze ich, darf ich damit nicht argumentieren.

24.05.2017, 22:42

Elvis

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rechnen s.o., interpolieren, LGS lösen / führt zum Ziel . nur Nichtstun / hilft nicht

Gib nicht so schnell auf. Wenn du nicht rechnen möchtest, gibt es folgenden Weg zur Erkenntnis :

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_3=\{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ . Jedes Polynom vom Grad kleiner oder gleich 2 hat die Form $\begin{eqnarray*} p(X)=\alpha+\beta X+\gamma X^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ . Die zugehörige Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ nimmt die Werte $\begin{eqnarray*} p(0)=\alpha+\beta 0+\gamma 0^2=a,p(1)=\alpha+\beta 1+\gamma 1^2=b,p(2)=\alpha+\beta 2+\gamma 2^2=c \end{eqnarray*}$ an. Löse das LGS mit den Variablen $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ und der rechten Seite $\begin{eqnarray*} (a,b,c)\in\mathbb F_3^3 \end{eqnarray*}$ . Was lernst du daraus ? Wie hängen Polynome, Polynomfunktionen und Funktionen zusammen ? Wie kann man daraus eine Basis des Vektorraums der Polynomfunktionen konstruieren ?

25.05.2017, 18:53

Mathlete1

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Als Lösung bekomme ich
$\begin{eqnarray*} \alpha = a 2\beta = b-c 2\gamma = a-2b+c \end{eqnarray*}$

aber für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 2\beta =2\gamma = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus.

und 0.5 kann ja nicht sein. Ich weiß nicht ob ich mich verrechnet habe.

aber theoretisch hätte ich ja jetzt so die Basis aufstellen müssen.

25.05.2017, 19:04

Elvis

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Du hast dich heftig verrechnet, du musst in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ rechnen.
$\begin{eqnarray*} 2\beta=b-c\Rightarrow -1\cdot\beta=b-c\Rightarrow \beta=c+2b \end{eqnarray*}$ stimmt noch. $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ glaube ich nicht, $\begin{eqnarray*} \beta=\gamma \end{eqnarray*}$ glaube ich schon gar nicht.
Möchtest du es noch mal versuchen ?

Und dann ernsthaft nachdenken ... was heißt denn "theoretisch hätte ich ja jetzt so die Basis aufstellen müssen" ?

25.05.2017, 19:10

Mathlete1

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Als ich habe es jetzt nochmal berechnet und komme jetzt auf (Ah durch deinen nächsten Kommentar käme ich dann ja auf:
$\begin{eqnarray*} \alpha = a \beta = 2b+c 2\gamma = a+b+c <=> \gamma= -a-b-c \end{eqnarray*}$

also auf $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \beta =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus.

So?

25.05.2017, 19:21

Mathlete1

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Und da ich jetzt sehe, dass diese alle linear unabhängig sind und meine a,b,c erzeugen, weiß ich dass dies eine Basis von Pol(F3) ist und deshalb auch meine Dimension, richtig?

25.05.2017, 19:24

Elvis

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Zitat:

Original von Mathlete1
$\begin{eqnarray*} \alpha = a \beta = 2b+c 2\gamma = a+b+c <=> \gamma= -a-b-c \end{eqnarray*}$

Das stimmt.

Zitat:

Original von Mathlete1
also auf $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus.

Das könnte ich versuchen zu verstehen, will ich aber gar nicht.

Bitte denke darüber nach, was die eindeutig bestimmten $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray*}$ bei gegebenen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ bedeuten. Formuliere ein paar Sätze in ganz normaler deutscher Sprache, die diese 6 variablen Zahlen und die Begriffe "Polynom", ""Grad", "Funktion", "Polynomfunktion" enthalten. Mathematik ist nicht nur lästiger Formelkram sondern zum wesentlichen Teil sinnvolles Denken. Das musst du selbst machen, ich kann nicht für dich denken, das kann niemand.

(Wenn du fleißig gerechnet hättest, wäre das Ergebnis übersichtlicher geworden, dann müsstest du jetzt nicht anfangen zu denken. Augenzwinkern

)

25.05.2017, 20:33

Mathlete1

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Okay also ich habe es jetzt wie folgt zusammen gefasst:

Wir wissen, dass das Polynom im F3 nur die Form $\begin{eqnarray*} p(x)=\alpha x+\beta x+\gamma x^{2} \end{eqnarray*}$ vom Grad 3 haben kann. Nach einsetzen von allen Elementen {0,1,2} in F3 stellt man ein Gleichungssystem auf. Durch das Auflösen erhält man $\begin{eqnarray*} \alpha=a, \beta=2b+c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma=-a-b-c \end{eqnarray*}$ . Dies kann man nun in die Polynomfunktion einfügen, sodass p(x)=a+(2b+c)x+(-a-b-c)x^2. Dies ist eine Linearkombination mit der man alle Funktionen in Pol(F3) darstellen kann. $\begin{eqnarray*} {\alpha, \beta, \gamma} \end{eqnarray*}$ ={a, 2b+c, -a-b-c} sind also ein Erzeugendensystem von Pol(F3) und linear unabhängig, wie sich leicht nachweisen lässt und bildet somit eine Basis in Pol(F3).
Daraus folgt, dass die Dimension dim(Pol(F3))=3 ist.

Richtig so?

25.05.2017, 21:54

Elvis

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Klasse formuliert, aber das stimmt so gar nicht.

Zitat:

Original von Mathlete1
Wir wissen, dass das Polynom im F3 nur die Form $\begin{eqnarray*} p(x)=\alpha x+\beta x+\gamma x^{2} \end{eqnarray*}$ vom Grad 3 haben kann.

Mindestens 4 Fehler in einem Satz:
1. Polynome sind nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ , sondern in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$
2. Ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ hat die Form $\begin{eqnarray*} p(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3+...+a_nX^n \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} p(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^{2} \end{eqnarray*}$ ist kein Polynom sondern eine Polynomfunktion . Du hast auch noch $\begin{eqnarray*} \alpha x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ geschrieben.
4. Das zugehörige Polynom $\begin{eqnarray*} p(X)=\alpha+\beta X+\gamma X^{2} \end{eqnarray*}$ hat den Grad 2

Zitat:

Original von Mathlete1
Nach einsetzen von allen Elementen {0,1,2} in F3 stellt man ein Gleichungssystem auf. Durch das Auflösen erhält man $\begin{eqnarray*} \alpha=a, \beta=2b+c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma=-a-b-c \end{eqnarray*}$ .

Genau anders herum . Wir gehen von einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ aus, diese muss Werte $\begin{eqnarray*} f(x)=a,b,c\in \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ annehmen für $\begin{eqnarray*} x=0,1,2 \in \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ . Dann machen wir den Ansatz $\begin{eqnarray*} f(x)=p(x) \end{eqnarray*}$ für ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \le 2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p(X)=\alpha+\beta X+\gamma X^{2}\in\mathbb F_3[X] \end{eqnarray*}$ . Das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta x+\gamma x^{2}|_{x=0}=a \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta x+\gamma x^{2}|_{x=1}=b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha+\beta x+\gamma x^{2}|_{x=2}=c \end{eqnarray*}$
führt auf das LGS $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & a\\ 1 & 1 & 1 & | & b \\ 1 & 2 & 1 & | & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit der eindeutigen Lösung $\begin{eqnarray*} \alpha=a, \beta=c-b, \gamma=2(a+b+c) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mathlete1
Dies ist eine Linearkombination mit der man alle Funktionen in Pol(F3) darstellen kann. $\begin{eqnarray*} {\alpha, \beta, \gamma} \end{eqnarray*}$ ={a, 2b+c, -a-b-c} sind also ein Erzeugendensystem von Pol(F3) und linear unabhängig, wie sich leicht nachweisen lässt und bildet somit eine Basis in Pol(F3).

Das ist ganz falsch, $\begin{eqnarray*} \alpha \beta,\gamma \end{eqnarray*}$ sind Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ und sonst nichts. Sie sind keine Funktionen und keine Basis eines Polynomraums, Polynomfunktionenraums oder Funktionenraums.

Ich versuche jetzt, den Sack zu zu machen ... und du wirst sehen, wie einfach das alles ist.

Zu jeder Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ gibt es genau ein Polynom $\begin{eqnarray*} p(X) \end{eqnarray*}$ vom Grad kleiner gleich $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ . Es gibt 27 Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und 27 Polynome $\begin{eqnarray*} p(X) \end{eqnarray*}$ vom Grad kleiner gleich $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , also ist jede Funktion eine Polynomfunktion. Der Vektorraum der Polynomfunktionen stimmt also mit dem Vektorraum der Funktionen überein. Eine Basis des Funktionenraums ist z.B. $\begin{eqnarray*} \{f_i(j)=\delta_{ij}:i,j=0,1,2\} \end{eqnarray*}$ , seine Dimension ist gleich 3. Genau so gut kann man als Basis die Funktionen nhemen, die zu den Basispolynomen $\begin{eqnarray*} 1,X,X^2 \end{eqnarray*}$ gehören, also $\begin{eqnarray*} \{f_0(x)=1,1,1,f_1(x)=0,1,2,f_2(x)=0,1,1\} \end{eqnarray*}$ oder jede andere Menge von 3 linear unabhängigen Funktionen.

Nachtrag: Dass die lineare Unabhängigkeit der Polynomfunktionen wesentlich ist und nicht die lineare Unabhängigkeit der Polynome, zeigen die Beispiele $\begin{eqnarray*} X,X^3,X^5,...,X^{2n+1},... \end{eqnarray*}$ mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0,1,2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^2,X^4,X^6,...,X^{2n},... \end{eqnarray*}$ mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0,1,1 \end{eqnarray*}$

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