Zeta Funktion als Integral

24.05.2017, 17:51	schnudl	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeta Funktion als Integral in diesem Link wird die Integraldarstellung der Riemann'schen Zeta-Funktion auf Basis eines kleinen Theorems hergeleitet: Es soll für $\begin{eqnarray} f(s) = \sum_n^\infty n^{-s} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(z) = \sum_n^\infty z^n \end{eqnarray}$ der Zusammenhang bestehen: $\begin{eqnarray} f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty F(e^{-t}) t^{s-1} \dd t \end{eqnarray}$ Setze ich nun in die Potenzreihe $\begin{eqnarray} z = e^{-t} \end{eqnarray}$ ein, bekomme ich $\begin{eqnarray} F(e^{-t}) = \sum_n e^{-nt} = \sum_n (e^{-t})^n = \frac{1}{1-e^{-t}} \end{eqnarray}$ Dann wird aber $\begin{eqnarray} f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{1}{1-e^{-t}} t^{s-1} \dd t \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} f(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{1}{e^{t}-1} t^{s-1} \dd t \end{eqnarray}$ Was übersehe ich hier permanent?
24.05.2017, 18:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeta Funktion als Integral Es ist $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (e^{-t})^n = \frac{1}{1-e^{-t}} \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty (e^{-t})^n = \frac{1}{e^t-1} \end{eqnarray}$ . Haettest du mal die Summationsgrenzen sauber aufgeschrieben
24.05.2017, 20:08	schnudl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeta Funktion als Integral Danke, was bin ich für ein Hirsch. Das hätte ich nie bemerkt, ... Ich wusste es würde peinlich sein - danke

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