Nachweis der Injektivität von f(x)=1/(1-|x|)

24.05.2017, 20:53	scphantom	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis der Injektivität von f(x)=1/(1-\|x\|) Meine Frage: Ich habe folgende Funktion gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> f:\{z \in \mathbb R \| -1 < z < 1\} \to R, x \to \frac{x}{1-\|x\| } <br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Vorgehen war wie folgt Seien $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \in \{z \in \mathbb R \| -1 < z < 1\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{1-\|x_1\|}=\frac{x_2}{1-\|x_2\|} \end{eqnarray}$ . Durch Überkreuzmultiplizieren und danach ausmultiplizeren erhalte ich $\begin{eqnarray} x_1-\|x_2\|x_1=x_2-\|x_1\|x_2 \end{eqnarray}$ . Von hier kome ich allerdings nicht mehr weiter. Gibt es hier bestimmte Rechenregeln mit Beträgen?
24.05.2017, 21:02	Devoreal	Auf diesen Beitrag antworten »
War nicht angemeldet xD Hab vergessen, was eigentlich zu zeigen ist. Zu zeigen wäre die Injektivität von f.
24.05.2017, 22:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man erkennt sofort $\begin{align} f(-x)=-f(x) \end{align}$ (d.h. die Funktion ist ungerade) und außerdem $\begin{align} f(0)=0 \end{align}$ sowie $\begin{align} f(x)>0 \end{align}$ für $\begin{align} 0<x<1 \end{align}$ . Aufgrund dieser Vorbetrachtungen reicht es, die Injektivität der Funktion auf dem eingeschränkten Definitionsbereich $\begin{align} (0,1) \end{align}$ zu zeigen, was wegen des dort geltenden $\begin{align} f(x) = \frac{x}{1-x} = \frac{1}{1-x} - 1 \end{align}$ nicht so arg schwierig ist.
24.05.2017, 22:08	Devoreal	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »