Verteilungsfunktion

25.05.2017, 13:06

J4cks0n

Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hallo,

Ich musste das Tutorium von Stochastik früher verlassen wegen eines Arzttermins und habe die hälfte verpasst,
und es gab dort eine Aufgabe zur Verteilungsfunktion, die ich aber nicht ganz nachvollziehen kann. unglücklich

Nun die Aufgabe:
Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariable X ist in der folgenden Tabelle gegeben:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{lcr} x & pX(x) \\ -4 & 1/4\\ 0 & 1/6\\ 4 & 1/4\\ 12 & 1/3\\ \end{tabular} \end{eqnarray*}$

(a) Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion FX(x) von X.

(b) Seien Y := 2X + 4 und Z := |X|. Stellen Sie die Verteilung von Y und von Z in einer Tabelle dar.

Meine Ideen:
Im Tutorium hatten wir neue Wahrscheinlichkeiten berechnet und diese dann in einem Graphen übernommen, aber ich versteh nicht wie man auf diese Wahrscheinlichkeiten kommt.
Ich würde mich über eine ausführlichen Rechenweg freuen. smile

Danke im Voraus
Liebe Grüße

25.05.2017, 13:31

SHigh

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RE: Verteilungsfunktion

Zitat:

Ich würde mich über eine ausführlichen Rechenweg freuen.

Wird schwer ohne deine Mithilfe. Konntest du denn (a) lösen? Für die VF gilt ja

$\begin{eqnarray*} F(t)=P(X\leq t) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Damit ergibt sich zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} F(6)=P(X\leq 6)=P(X=-4)+P(X=0)+P(X=4)=\frac 23 \end{eqnarray*}$

Versuch mal $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ allgemein für alle $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

25.05.2017, 13:41

J4cks0n

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RE: Verteilungsfunktion
Hallo,

d.h. Ich müsste bei (a) einfach nur die kumulierten Wahrscheinlichkeiten ausrechnen?
also $\begin{eqnarray*} P(X\leq-4) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X\leq0) \end{eqnarray*}$ .....etc.

Ich habe leider den Teil verpasst wo sie das erklärt haben, wie man darauf kommt ich habe nur die kurzen knappen Ergebnisse hier.

25.05.2017, 15:44

SHigh

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RE: Verteilungsfunktion

Zitat:

also $\begin{eqnarray*} P(X\leq-4) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P(X\leq0) \end{eqnarray*}$ .....etc.

Ja, genau. Allerdings für alle (!) $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Aufschreiben könntest du das so:

$\begin{eqnarray*} F(t)=\begin{cases} 0 & t<-4 \\ \frac 14 & -4\leq t <0 \\ \dots & \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zeichnen sollte auch kein Problem sein. Bei der (b): Überlege dir, welche Werte Y bzw. Z überhaupt annehmen können, und mit welcher WS. Dann analog zu (a).

25.05.2017, 20:43

J4cks0n

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RE: Verteilungsfunktion
Hm also Y kann ja dann jeden Wert aus den Bereich der reellen Zahlen annehmen das gleiche gilt doch für Z

da Z := |X| ist d.h.
Z = X
Z = -X
Z = 0

aber ich verstehe nicht wirklich wie mir das helfen soll.

25.05.2017, 21:01

SHigh

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RE: Verteilungsfunktion

Zitat:

Hm also Y kann ja dann jeden Wert aus den Bereich der reellen Zahlen annehmen das gleiche gilt doch für Z

Unfug, genau wie das, was folgt.

Zitat:

da Z := |X| ist d.h. Z = X Z = -X Z = 0 aber ich verstehe nicht wirklich wie mir das helfen soll.

Wo in aller Welt habe ich denn so etwas behauptet?

Überhaupt, warum fängst du nicht mit Aufgabe (a) an?

Wenn du unbedingt mit der (b) anfangen willst, bitte: Es gilt doch nach deiner Tabelle

$\begin{eqnarray*} Y\in \{-4,0,4,12\} \end{eqnarray*}$ .

Ich kann dir jedoch nur empfehlen, die VF für (a) zu bestimmen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(t)=\begin{cases} 0 & t<-4 \\ \frac 14 & -4\leq t <0 \\ \dots & \\ \end{cases} \end{eqnarray*}$

25.05.2017, 21:41

J4cks0n

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RE: Verteilungsfunktion
Okay
also bei (a):

$\begin{eqnarray*} F(t)=\begin{cases} 0 & t<-4 \\ \frac 14 & -4\leq t <0 \\ \frac{5}{12} & 0\leq t < 4 \\ \frac{2}{3} & 4 \leq t < 12 \\ 1 & sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

25.05.2017, 22:05

SHigh

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RE: Verteilungsfunktion
Genau, das sollte passen. Für (b): wenn Y die Werte -4,0,4 und 12 annehmen kann, welche Werte kann dann |Y| annehmen, und mit welcher Ws?

25.05.2017, 22:30

J4cks0n

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RE: Verteilungsfunktion
Ich verstehe nicht ganz
Also wäre die Gleichung (Y-4)/2 = X d.h. für -4 wäre es 0.

26.05.2017, 06:57

SHigh

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RE: Verteilungsfunktion
Entschuldige bitte, ich hatte aus dem $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gemacht, mein Fehler. Sei also $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ wie in (a) verteilt und $\begin{eqnarray*} Y=2X+4 \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt $\begin{eqnarray*} X\in \{-4,0,4-12\} \end{eqnarray*}$ mit den jeweiligen WS aus der Tabelle. Welche Werte nimmt dann $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ an und mit welcher WS? Analog für $\begin{eqnarray*} Z=|X| \end{eqnarray*}$ .

26.05.2017, 10:21

J4cks0n

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RE: Verteilungsfunktion
Nun denn kommen wir auf
für -4 : 4 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3.
für 0 : 6 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3
für 4 : 12. mit der Wahrscheinlichkeit 1
für 12 : 28 mit der Wahrscheinlichkeit 1 auch??

für Z = |X|
wäre es ja für
-4 = 4 --> 2/3
0 = 0 --> 5/12
4 = -4 --> 1/4
12 = -12. --> 0

stimmt das die Vorgehensweise?

26.05.2017, 12:06

SHigh

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RE: Verteilungsfunktion

Zitat:

Nun denn kommen wir auf für -4 : 4 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3. für 0 : 6 mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 für 4 : 12. mit der Wahrscheinlichkeit 1 für 12 : 28 mit der Wahrscheinlichkeit 1 auch??

Ich habe wenig Lust, irgendwie zu raten was du meinst. Schreibe doch bitte alles überschtilich (wenn schon ohne latex) auf. Ich mach dir mal als Beispiel $\begin{eqnarray*} Y=2X+4 \end{eqnarray*}$ vor:

$\begin{eqnarray*} x=-4 \Rightarrow y=2\cdot (-4) + 4 = -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0 \Rightarrow y=2\cdot 0 + 4 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=4 \Rightarrow y=2\cdot 4 + 4 = 12 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=12 \Rightarrow y=2\cdot 12 + 4 = 28 \end{eqnarray*}$

Damit folgt

$\begin{eqnarray*} P(Y=-4)=P(X=-4)=\frac 14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Y=4)=P(X=0)=\dots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Y=12)=\dots \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du wie in (a) die VF aufstellen. Dannach sollte auch $\begin{eqnarray*} Z=|X| \end{eqnarray*}$ kein Probelm mehr sein.

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