Lineare Abbildungen - Abbildungsvorschrift

25.05.2017, 17:49	mathrob24	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen - Abbildungsvorschrift Hallo , Ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2,x_3)=(\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} {\mathbb {F}}_5^{3\times1} \end{eqnarray}$ und es sei $\begin{eqnarray} \varphi : {\mathbb {F}}_5^{3\times1} \rightarrow {\mathbb {F}}_5^{2\times1} \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} {\mathbb {F}}_{5} \end{eqnarray}$ -Vektorraumhomomorphismus mit $\begin{eqnarray} \varphi(x_1)=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}, \varphi(x_2)=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\varphi(x_3)=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie bestimme ich nun die Abbildungsvorschrift von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ? Meine Idee wäre, die Elemente der Basis in der Form: $\begin{eqnarray} a \cdot \varphi(x_1)+b \cdot \varphi(x_2)+c \cdot \varphi(x_3) \end{eqnarray}$ zu schreiben (mit $\begin{eqnarray} a,b,c,d \in \mathbb {F}_5 \end{eqnarray}$ ), um so auf die Abbildungsvorschrift zu kommen. Bin mir da aber nicht sicher. Gruß MathRob
25.05.2017, 18:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist linear, also gilt $\begin{eqnarray} \forall x\in\mathbb F_5^{3\times 1}:x= a \cdot x_1+b \cdot x_2+c \cdot x_3\Rightarrow \varphi(x)=a \cdot \varphi(x_1)+b \cdot \varphi(x_2)+c \cdot \varphi(x_3) \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \varphi(x_3)=\varphi(x_1)+\varphi(x_2) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \varphi(x)=(a+c) \cdot \varphi(x_1)+(b+c) \cdot \varphi(x_2) \end{eqnarray}$ auch richtig.
25.05.2017, 18:53	mathrob24	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber irgendwie passt das nicht. Ich erhalte z.B. für $\begin{eqnarray} \varphi(x_3)=\varphi(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix})=1 \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jedoch muss $\begin{eqnarray} \varphi(x_3)=\varphi(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix})= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein, oder nicht?
25.05.2017, 18:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Zeile ist unmotiviert und falsch. Die zweite Zeile ist offensichtlich richtig.
25.05.2017, 19:04	mathrob24	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die zweite Zeile muss ja offensichtlich rauskommen. Aber warum ist die erste Zeile falsch? Ich setze doch für die Koeffizienten a, b und c die Werte aus der Matrix ein, also für $\begin{eqnarray} a=1, b=-2, c=-1 \end{eqnarray}$
25.05.2017, 19:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du setzt die Komponenten von $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ ein, das ist nicht richtig. Richtig ist $\begin{eqnarray} x_3=1\cdot x_3 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} a=b=0,c=1 \end{eqnarray}$ .
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25.05.2017, 19:40	mathrob24	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich möchte ja $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ abbilden. Wie sehe denn die konkrete Vorschrift aus, wenn ich $\begin{eqnarray} \varphi(\begin{pmatrix}a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ abbilden möchte? Also eine genaue Funktion, wo ich komponentenweise a,b,c,d einsetzen kann, um dann das Bild aus $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_{5}^{2\times 1} \end{eqnarray}$ davon zu bekommen. Das ist mir leider nicht so klar
25.05.2017, 19:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht nicht. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ist auf einem 3-dimensionalen Vektorraum definiert. Da hat jeder Vektor, der abgebildet werden soll genau 3 Koeffizienten $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ . Diese 3 Koeffizienten gehören vermöge $\begin{eqnarray} x=ax_1+bx_2+cx_3 \end{eqnarray}$ zur Basis $\begin{eqnarray} \{x_1,x_2,x_3\} \end{eqnarray}$ .

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