Flächeninhalt Dreieck R^2

25.05.2017, 19:16

Ascareth

Flächeninhalt Dreieck R^2

Hallo zusammen,

es geht um die Aufgabe 12 a) im Anhang.

[attach]44504[/attach]

Ich habe zunächst die Beträge der Vektoren AB, BC und CA berechnet, um zu ermitteln, was ich als Grundseite und was ich als Schenkelseiten nehmen kann. Ich meine, dass das auch nicht anders geht. Das wäre auch meine Frage: Muss man zwingend zuerst die Beträge der Seiten ermitteln, oder gibt es noch eine "elegantere" / schnellere Lösung, um den Flächeninhalt zu ermitteln? (und wenn ja: wie?). Ich meine halt, dass ich schon der Formel für die Dreickesfläche nach auf jeden Fall wissen muss, um welche Seiten es sich handelt. Oder?

Gruß, Asca

25.05.2017, 19:58

Mathema

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Alternativ ginge bei a) und b) natürlich auch:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\left|\det \begin{pmatrix} -1 & -9 \\ 8 & 7 \end{pmatrix} \right|=\frac{1}{2}\cdot 65 =32,5 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ -5 \end{pmatrix}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix} -10 \\ 20 \\ 20 \end{pmatrix}\right|=15 \end{eqnarray*}$

Ob das schneller geht, oder für dich eleganter ist, musst du selbst beurteilen.

Tschüss

Wink

edit: Ein Minuszeichen fehlte.

25.05.2017, 21:01

Ascareth

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Musst du vorher wissen, welche der Vektoren die Schenkel und die Grundseite beschreiben?

26.05.2017, 09:29

riwe

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oder bei a)

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}\cdot(x_1\cdot(y_2-y_3)+x_2\cdot ...)=\frac{1}{2}\cdot(1\cdot (3-2)+0\cdot (...)-8\cdot(-5-3)) \end{eqnarray*}$

26.05.2017, 10:25

Ascareth

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Ich muss unbedingt wissen, ob ich zur Anwendung des einen oder anderen Lösungsweges vorher ermitteln muss, was die Grundseite und was die Schenkelseiten sind. Ich auf diese Frage leider so ohne weiteres aus euren Beiträgen nicht erkennen. Es wäre nett, wenn ihr diese Frage kurz beantworten könntet und vielleicht kurz darauf eingehen könntet, aus welchem Grund ihr (scheinbar) nicht zuerst untersucht, was welche Seite ist.

Ich habe beispielsweise zuerst die Beträge der Vektoren ermittelt, um zu erkennen, was die Grundseite ist. Anders geht das doch nicht oder? Oder erkennt ihr direkt an den Koordinaten, welche Seiten zwischen welchen Punkten anzunehmen sind?

26.05.2017, 10:35

riwe

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bei den oben angegebenen Lösungen ist es völlig belanglos, ob das 3eck gleichschenkelig ist oder nicht.

26.05.2017, 11:11

Leopold

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Es gibt Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks im zweidimensionalen Koordinatensystem, die für jedes Dreieck gelten (siehe Beitrag von Mathema). Im übrigen kann man den Flächeninhalt auch stets elementar berechnen, indem man rechtwinklige Dreiecke von einem Rechteck subtrahiert (siehe Figur).

Wenn du diese Formeln nicht kennst und nicht verwenden willst oder verwenden darfst, kannst du natürlich auch die Gleichschenkligkeit verwenden. Ist $\begin{align*} b \end{align*}$ die Länge der Basis, $\begin{align*} s \end{align*}$ die Länge eines Schenkels und $\begin{align*} h \end{align*}$ die Höhe der Basis, dann gilt nach Pythagoras

$\begin{align*} \left( \frac{1}{2} b \right)^2 + h^2 = s^2 \end{align*}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist somit

$\begin{align*} F = \frac{1}{2} bh = \frac{1}{2} b \cdot \sqrt{s^2 - \left( \frac{1}{2} b \right)^2} = \frac{1}{4} b \cdot \sqrt{4s^2 - b^2} \end{align*}$

In der Aufgabe a) ist $\begin{align*} s = \sqrt{65} \end{align*}$ und $\begin{align*} b = \sqrt{130} \end{align*}$ , also $\begin{align*} F = \frac{65}{2} \end{align*}$ .

[attach]44510[/attach]

26.05.2017, 12:22

Ascareth

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Mir geht es nicht darum, dass ich etwas nicht verwenden will. Es geht mir lediglich darum zu erfahren, ob ich zunächst wissen muss, welches die Grundseite eines GS-Dreiecks ist, um den Flächeninhalt berechnen zu können. Ich verstehe ehrlich gesagt nicht ganz, warum es so schwer ist, sich bei der Formulierung der Antwort auch präzise auf diese Fragestellung zu beziehen. Dass aber offensichtlich von den hier Antwortenden immer wieder Einschränkungen gemacht werden, hinsichtlich der Anwendbarkeit der skizzierten Lösungswege zeigt doch, dass es offensichtlich nicht unerheblich ist, welche die entsprechenden Seiten sind. Es scheint also im Vorfeld notwendig zu sein, die Grundseite und / oder die Schenkel zu ermitteln. Oder nicht?

26.05.2017, 12:39

Leopold

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Ich dachte, ich hätte dir diese Frage beantwortet.
Wenn man den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Elementarformel "ein halb mal Grundseite mal zugehörige Höhe" berechnen will, muß man natürlich wissen, welche Seite man als Grundseite nimmt. Und man muß die zugehörige Höhe nehmen. Beim gleichschenkligen Dreieck ist es sinnvoll, die Basis als Grundseite zu nehmen, weil man deren Höhe mit Pythagoras aus Basis und Schenkel berechnen kann (man muß also wissen, was Basis und was Schenkel ist). Aber das habe ich bereits in meinem vorigen Beitrag gesagt. Und ich habe es sogar im wesentlichen vorgerechnet.

26.05.2017, 12:51

Ascareth

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn man den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Elementarformel "ein halb mal Grundseite mal zugehörige Höhe" berechnen will, muß man natürlich wissen, welche Seite man als Grundseite nimmt. Und man muß die zugehörige Höhe nehmen.

Danke! Das meinte ich.

Allerdings frage ich mich jetzt natürlich, aus welchem Grund die anderen Lösungswege mit Einschränkungen funktionieren und welche Einschränkungen das sind. Wieso funktioniert der Weg über den Betrag einer Determinanten der 2x2 Matrix? Für mich sieht das so aus, als würde die Determinante einer Matrix geometrisch dem Flächeninhalt eines Quadrats entsprechen. Muss man für diesen Weg auch wissen, welches die Grundseite ist? (scheinbar nicht - aber offensichtlich gelten wie gesagt doch Einschränkungen, die mich interessieren würden).

Ich gleicher Weise: Wieso funktioniert der weg über das Kreuzprodukt. Ich weiß zwar, dass der Betrag eines Kreuzproduktes dem Flächeninhalt der diesen "aufspannenden" Vektoren entspricht, aber dass dieser wiederum doppelt so groß ist wie eine dazugehörige Dreiecksfläche, wusste ich nicht.

26.05.2017, 13:06

Leopold

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Zitat:

Original von Ascareth
Allerdings frage ich mich jetzt natürlich, aus welchem Grund die anderen Lösungswege mit Einschränkungen funktionieren und welche Einschränkungen das sind.

Es gibt keine Einschränkungen, höchstens Dimensionsprobleme. Die Determinantenformel funktioniert nur im Zweidimensionalen, die Vektorproduktformel nur im Dreidimensionalen. Indem man zweidimensionalen Vektoren künstlich eine dritte Koordinate 0 gibt, kann man die Vektorproduktformel letztlich auch im Zweidimensionalen anwenden.

Zitat:

Original von riwe
bei den oben angegebenen Lösungen ist es völlig belanglos, ob das 3eck gleichschenkelig ist oder nicht.

Warum diese Formeln gelten, lernt man in der Analytischen Geometrie.

26.05.2017, 13:38

mYthos

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Zitat:

Original von Ascareth
...
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht ganz, warum es so schwer ist, sich bei der Formulierung der Antwort auch präzise auf diese Fragestellung zu beziehen.
...

Hört man da eine Kritik an die Antworten der Helfer? Diese ist ungerechtfertigt und muss zurückgewiesen werden!
Denn die Antworten orientieren sich immer an die Art der Fragestellung und treffen anfangs oft nicht den Wissensstand des Fragenden, welcher ja von Vornherein nicht bekannt ist.

Also bitte um einen etwas freundlicheren Ton, schließlich bist du es, der hier Hilfe benötigt.
Und es arbeiten hier keine Maschinen/Roboter, sondern Menschen, und dies tun sie unentgeltlich in ihrer Freizeit.

Zitat:

Original von Ascareth
...
Für mich sieht das so aus, als würde die Determinante einer Matrix geometrisch dem Flächeninhalt eines Quadrats entsprechen.
...
Ich weiß zwar, dass der Betrag eines Kreuzproduktes dem Flächeninhalt der diesen "aufspannenden" Vektoren entspricht, aber dass dieser wiederum doppelt so groß ist wie eine dazugehörige Dreiecksfläche, wusste ich nicht.

Der Betrag des Kreuzproduktes entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogrammes (!), die Fläche des Dreieckes ist demnach halb so groß.

mY+

26.05.2017, 18:03

Ascareth

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Besten Dank, Leute! Das waren genau die Informationen, die mir persönlich gefehlt haben. Ich habe da offensichtlich noch einige Defizite. Aber jetzt habe ich es verstanden.

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