Differentialgleichungen lösen im "Physiker Style"

25.05.2017, 21:19	Dstroy	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen lösen im "Physiker Style" Meine Frage: Für viele Mathematiker ist die Physiker-Lösungsmethode ein Graus, aber auf die Frage, wieso man dies nicht machen dürfe konnte mir mein Plenarübungsdozent kein richtiges Gegenargument bzw. kein Gegenbeispiel finden, bei dem es nicht funktioniert. Ich mache mal ein Beispiel für die, die nicht wissen, was ich mit Physiker Style meine: Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} u=\frac{1}{2u} \Rightarrow <br /> du=\frac{1}{2u} dt \Rightarrow \int_{u(0)}^{u} \! 2u \, du=\int_{0}^{t} \! \, dt \Rightarrow u^{2}-u(0)^{2}=t \end{eqnarray}$ Eigentlich schreibt man nur Ableitungen in Differentiale um und integriert dann. Hat bis jetzt immer schnell und zuversichtlich zur richtigen Lösung geführt, mir ist noch nie ein Beispiel untergekommen, bei dem dies nicht funktioniert hätte. Und ja klar muss man Differenzierbarkeit und Stetigkeit im Definitionsbereich prüfen etc. aber es geht mir um die Lösung und ich wüsste nicht warum das nicht funktionieren sollte. Könnte vllt mit Vertauschung von Grenzprozessen zu tun haben aber sonst fällt mir nichts ein.
25.05.2017, 23:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
solange die Differenzialgleichung erster Ordnung ist und getrennte Variable vorliegen spricht nichts dagegen. Also: $\begin{eqnarray} y'=f(y)g(x) \end{eqnarray}$ Das muss kein Graus sein.
26.05.2017, 11:32	Philip122	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen lösen im "Physiker Style" Es gibt einen berechtigten Grund warum das funktionier! Im Prinzip verwendet man nur die Substitutionsregel: $\begin{eqnarray} y'(x)=h(y(x))g(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(x)\frac{1}{h(y(x))} = g(x) \end{eqnarray}$ Integration auf beiden Seiten liefert: $\begin{eqnarray} \int_{x_{0}}^{x} \! y'(x)\frac{1}{h(y(x))} \, dx =\int_{x_{0}}^{x} \! g(x) \, dx \end{eqnarray}$ Da nun auf der linken Seite die innere Ableitung vorkommt, kann man die Substitutionsregel anwenden: $\begin{eqnarray} \int_{y(x_{0})}^{y(x)} \! \frac{1}{h(s)} \, ds =\int_{x_{0}}^{x} \! g(x) \, dx \end{eqnarray}$ Dieses Vorgehen berechtigt in diesen Fällen also die Eselsbrücke, differentiale als Brüche zu behandeln!
26.05.2017, 12:16	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Als kurze Anmerkung: Man wird damit hin und wieder gewisse Lösungen verlieren. So löst die konstante Funktion $\begin{eqnarray} y= 0 \end{eqnarray}$ offenbar $\begin{eqnarray} y' = \frac y x \end{eqnarray}$ . Wenn man aber munter drauf losrechnet, bekommt man, dass Lösungen die Form $\begin{eqnarray} y(x) = \pm e^c x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ sind. Weil man durch $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ bei der Rechnung geteilt hat, verliert man $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ , wie man es aus algebraischen Gleichungen kennt.
26.05.2017, 13:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn man den konstanten Ausdruck umbenennt: $\begin{align} \pm \operatorname{e}^c = C \end{align}$ , und nicht genauer nachdenkt: $\begin{align} y(x) = Cx \end{align}$ ist die verlorene Lösung - hokuspokus fidibus! - wieder da.

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