Ableitung allgemeiner Logarithmus bzw. Exponentialfunktion

25.05.2017, 22:34	retzu_77	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung allgemeiner Logarithmus bzw. Exponentialfunktion Meine Frage: Hallo liebe Leute aus diesem Forum, Ich habe eine komisch formulierte Frage vor mir liegen. Das offizielle Ergebnis ist auch bekannt. Nur finde ich die Frage etwas seltsam und meine Versuche einen Weg zu diesem Ergebnis zu finden scheitern. Hier die Frage: Sei $\begin{eqnarray} f(x)=a^x \end{eqnarray}$ und die Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ wie folgt definiert $\begin{eqnarray} g(x)=f^-1 (x) \end{eqnarray}$ Was ist folglich die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x=log_a 3 \end{eqnarray}$ , sprich $\begin{eqnarray} g'(log_a 3) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Ich habe es durch Differentiation der Umkehrfunktion probiert und komme auf $\begin{eqnarray} 1/3 \end{eqnarray}$ . Die offizielle Lösung lautet $\begin{eqnarray} 1/ln 3 \end{eqnarray}$
25.05.2017, 23:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst entweder die Umkehrfunktion bestimmen und diese dann ableiten oder gleich den Satz benützen, dass die Ableitung der Umkehrfunktion der Kehrwert jener der ursprünglichen Funktion ist. In beiden Fällen erhält man $\begin{eqnarray} \frac 1 {3 \ln a} \end{eqnarray}$ . Da der Wert von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ nicht festgelegt ist, muss es im Resultat ja auch wieder aufscheinen. mY+
27.05.2017, 19:08	retzu_88	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm ... wenn du dir Fragestellung genau anschaust wirst du sehen, dass g zwar die Logarithmusfunktion ist aber die Stelle loga3 gefragt wird .... ich komme letztendlich auf die richtige Lösung, wäre aber trotzdem gut wenn es jemand verifizieren könnte ! $\begin{eqnarray} x=log_a 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(log_a 3)=? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(y)=(log_a (log_a 3))' = 1/log_a 3 (ln a) = 1/ln a (ln 3/ln a) = 1/ln 3 \end{eqnarray}$ passt das so ?
30.05.2017, 02:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Syntaktisch dürfte das nicht richtig aufgeschrieben sein (Klammernsetzung?) und die Ableitung einer Konstanten in der Klammer am Anfang ist ja Null. Also musst du vor der Ableitung noch eine Variable darin haben ... ----- Du hast Recht, $\begin{eqnarray} \ln a \end{eqnarray}$ muss sich kürzen, sodass am Ende $\begin{eqnarray} \frac 1 {\ln 3} \end{eqnarray}$ übrigbleibt! Es wird übrigens einfacher, wenn du schreibst: $\begin{eqnarray} g'(x) = \frac 1 {x \ln a} \end{eqnarray}$ (dies gilt mal allgemein) $\begin{eqnarray} x = ^a\log 3 \leftrightarrow a^x = 3 \ \to \ x \ln a = \ln 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g'(^a\log 3) = \frac 1 {\ln 3} \end{eqnarray}$ mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »