Riemann-Integral, Unstetigkeit, Dirichlet-Funktion

26.05.2017, 11:03

Joly

Riemann-Integral, Unstetigkeit, Dirichlet-Funktion

Hallo zusammen,

ich verstehe diese Erklärung bei Wikipedia nicht (im Eintrag zu Riemannsches Integral unter Beispiele):

"Die Funktion $\begin{eqnarray*} {\displaystyle f\colon [0,1]\to [0,1]} f\colon [0,1]\to [0,1] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&~{\text{falls}}~x=0\\{\frac {1}{q}}&~{\text{falls}}~x={\frac {r}{q}}~{\text{mit}}~r,q\in \mathbb {N} ~{\text{teilerfremd}}\\0&~{\text{falls}}~x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} \end{eqnarray*}$
ist stetig in allen irrationalen Zahlen und unstetig in allen rationalen Zahlen. Die Menge der Unstetigkeitsstellen liegt zwar dicht im Definitionsbereich, da diese Menge aber abzählbar ist, ist sie eine Nullmenge. Die Funktion ist damit Riemann-integrierbar.

Die Dirichlet-Funktion $\begin{eqnarray*} {\displaystyle g\colon [0,1]\to [0,1]} g\colon [0,1]\to [0,1] \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} {\displaystyle g(x)={\begin{cases}1&~{\text{falls}}~x\in \mathbb {Q} \\0&~{\text{falls}}~x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} g(x)={\begin{cases}1&~{\text{falls}}~x\in \mathbb {Q} \\0&~{\text{falls}}~x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}} \end{eqnarray*}$
ist nirgendwo stetig, sie ist also nicht Riemann-integrierbar. Sie ist aber Lebesgue-integrierbar, da sie fast überall Null ist."

https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral

Wieso ist die Dirichlet-Funktion überall in R unstetig, bei der ersten Funktion in R aber stetig?

Wo ist der Unterschied zwischen den rationalen Zahlen und und den Zahlen der Form r/q für r,q teilerfremd? Sind das nicht genau die rationalen Zahlen? Klar, in den rationalen Zahlen gibt es auch ungekürzte Brüche, aber das ist doch letztlich das gleiche wie dazugehörigen die gekürzten Brüche weil sie die gleichen Zahlen beschreiben? Und diese Begründung zur ersten Funktion, dass die Zahlen eine Nullmenge bilden, das gilt doch auch für die rationale Zahlen! Wo ist dann da der Unterschied zur Dirichlet-Funktion?

Vielen Dank und einen schönen Freitag noch!

26.05.2017, 11:08

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

der Unterschied liegt nicht in der Fallunterscheidung. Es stimmt schon, dass hier grob die gleichen Fälle unterschieden werden mit Ausnahme des Nullpunkts.

Es kommt hier stattdessen auf die Werte der Funktion in den jeweiligen Fällen an. Ist dir nicht aufgefallen, dass die unterschiedlich sind?

Hier noch ein etwas extremers Beispiel:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} {\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&~{\text{falls}}~x\in \mathbb {Q} \\0&~{\text{falls}}~x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}} \end{eqnarray*}$

unterscheidet auch die gleichen Fälle wie die Dirichletfunktion. Hier sollte aber nun offensichtlich sein, dass sie überall stetig ist oder? Es sind eben andere Funktionswerte und die entscheiden über Stetigkeit oder nicht Stetigkeit.

26.05.2017, 13:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal auf den Punkt genauer ein:

Zitat:

Original von Joly
Wo ist der Unterschied zwischen den rationalen Zahlen und und den Zahlen der Form r/q für r,q teilerfremd? Sind das nicht genau die rationalen Zahlen? Klar, in den rationalen Zahlen gibt es auch ungekürzte Brüche, aber das ist doch letztlich das gleiche wie dazugehörigen die gekürzten Brüche weil sie die gleichen Zahlen beschreiben?

Das wäre ein Argument, wenn die Funktion dort $\begin{align*} f(x) = x = \frac{{\color{blue}r}}{q} \end{align*}$ festgelegt wäre. Ist sie aber nicht, die Festlegung lautet $\begin{align*} f(x) = \frac{{\color{red}1}}{q} \end{align*}$ . Die Forderung der Teilerfremdheit ist schlicht notwendig, sonst ist $\begin{align*} f \end{align*}$ nicht sauber definiert! Lassen wir sie weg, d.h., sagen wir nur

Zitat:

Es sei $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{q} \end{align*}$ für eine rationale Zahl $\begin{align*} x=\frac{r}{q} \end{align*}$ .

dann könnte man ja sagen: Es ist $\begin{align*} f\left(\frac{1}{2}\right)=2 \end{align*}$ und es ist aber auch $\begin{align*} f\left(\frac{2}{4}\right)=4 \end{align*}$ . Rummms, haben wir einen Widerspruch in der Definition von $\begin{align*} f \end{align*}$ , das darf nicht sein. unglücklich

Die Forderung der Teilerfremdheit beseitigt diesen potentiellen Crash.

26.05.2017, 14:07

Joly

Auf diesen Beitrag antworten »

@Guppi12

Alles klar, da liegt also der Hase im Pfeffer.

Ich glaube mein Problem ist zum einen, dass ich mir die Funktion nicht so richtig vorstellen kann.

Zum anderen müsste ich mein Verständnis von Stetigkeit mal auffrischen/vertiefen, um zu verstehen warum die Funktion denn nun in allen irrationalen Zahlen stetig sind.

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

26.05.2017, 14:09

Joly

Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL 9000

Ah! Jetzt ergibt es Sinn, warum man das so "komisch" definiert hat!

Vielen Dank! :-)

26.05.2017, 14:37

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Zum anderen müsste ich mein Verständnis von Stetigkeit mal auffrischen/vertiefen, um zu verstehen warum die Funktion denn nun in allen irrationalen Zahlen stetig sind.

Der Kerngedanke dabei ist, dass für eine Folge rationaler Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray*}$ , die gegen eine irrationale Zahl konvergiert, die Nennerfolge gegen unendlich streben muss. Daraus folgt dann die Stetigkeit in den irrationalen Zahlen mit Folgenkriterium.

26.05.2017, 14:44

Joly

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12

Der Kerngedanke dabei ist, dass für eine Folge rationaler Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{p_n}{q_n} \end{eqnarray*}$ , die gegen eine irrationale Zahl konvergiert, die Nennerfolge gegen unendlich streben muss. Daraus folgt dann die Stetigkeit in den irrationalen Zahlen mit Folgenkriterium.

Ahh, mir geht ein Licht auf!

Jetzt macht alles Sinn! Freude

Vielen Dank!

26.05.2017, 15:11

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Wikipedia hat übrigens ein schönes Bild, wie der Graph aussieht: Wiki.

Neue Frage »

Antworten »

Riemann-Integral, Unstetigkeit, Dirichlet-Funktion

Verwandte Themen