Eigenwerte einer Tridiagonalgestalt

26.05.2017, 16:58	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte einer Tridiagonalgestalt Hallo zusammen, ich muss die Eigenwerte einer Matrix berechnen, die in einer Tridiagonalgestalt vorliegt. Folgende Matrix ist hier gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix} 2 & -1 &0 &0 \\ -1&2 &-1 &0 \\ 0&-1 &2 &-1 \\ 0&0 &-1 &2 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Habe versucht es mit dem Charakteristischen Polynom zu machen, also gerade: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 &0 &0 \\ -1&2-\lambda &-1 &0 \\ 0&-1 &2-\lambda &-1 \\ 0&0 &-1 &2-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Frage ist das hier der richtige Ansatz, oder gibt es einen Trick bei Tridiagonalformen um die Eigenwerte effizienter "ablesen" zu können? Vielen Dank im Voraus.
26.05.2017, 19:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das $\begin{align} (2-\lambda) \end{align}$ -fache der zweiten Zeile zur ersten addieren und dann nach der ersten Spalte entwickeln: $\begin{align} \varphi(\lambda) = \begin{vmatrix} (\lambda-2)^2 - 1 & \lambda-2 & 0 \\ -1 & 2-\lambda & -1 \\ 0 & -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \end{align}$ Jetzt noch das $\begin{align} (2-\lambda) \end{align}$ -fache der zweiten Zeile zur dritten addieren und nach der letzen Spalte entwickeln: $\begin{align} \varphi(\lambda) = \begin{vmatrix} (\lambda-2)^2 - 1 & \lambda-2 \\ \lambda-2 & (\lambda-2)^2 - 1 \end{vmatrix} \end{align}$ Und so findet man das charakteristische Polynom $\begin{align} \varphi(\lambda) = \left( (\lambda-2)^2 - 1 \right)^2 - (\lambda-2)^2 \end{align}$ Mit Hilfe der dritten binomischen Formel kann man das Polynom in zwei quadratische Faktoren zerlegen. Das ist ein ad-hoc-Vorgehen. Ob es einfacher geht ...
26.05.2017, 20:25	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix. Deren Eigenwerte und -vektoren kann man explizit angeben.
26.05.2017, 21:30	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden

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