Konservatives Kraftfeld und Satz von Stokes

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26.05.2017, 17:12	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Konservatives Kraftfeld und Satz von Stokes Guten Tag zusammen, ich habe gerade ein Problem damit folgende Aufgabe zu lösen: Betrachten Sie $\begin{align} \mathbb{R}^3\backslash (\{(0,0)\}\times \mathbb{R}) \end{align}$ das Vektorfeld: $\begin{align} f(x,y,z)= \left(\frac{2(xz+y)}{x^2+y^2}, \frac{2(yz-x)}{x^2+y^2}, \log(x^2+y^2) \right) \end{align}$ und die Kurven $\begin{align} \gamma_1 : [0,2\pi]\to \mathbb{R}^3, \varphi \mapsto &(\cos(\varphi), \sin(\varphi),0)\\ \gamma_2 : [0,2\pi]\to \mathbb{R}^3, \varphi \mapsto &(2\cos(\varphi),2\sin(\varphi),2) \end{align}$ . a) Berechnen sie $\begin{align} \int_{\gamma_1}f\cdot \dd \vec{s} - \int_{\gamma_2}f\cdot \dd \vec{s} \end{align}$ mit Hilfe des Satzes von Stokes b) ist $\begin{align} f \end{align}$ konservativ? Ich habe mich zuerst an die b) gemacht, da man über $\begin{align} {\rm{rot}}(f)=0 \end{align}$ feststellen kann ob ein Vektorfeld konservativ ist und man entsprechenden Term sowieso für den Satz von Stokes braucht. Das Feld ist konservativ. Nun zu Aufgabe a). Also das erste was mich verwirrt ist die Tatsache, dass in konservativen Kraftfeldern alle geschlossenen Wegintegrale gerade Null sein müssen. Da beide oben angegebenen Wege geschlossen wäre also auch die Differenz Null. Auch wenn ich die Integrale mit dem Satz von Stokes umschreibe zu: $\begin{align} \int_{\gamma_1}f\cdot \dd \vec{s} - \int_{\gamma_2}f\cdot \dd \vec{s} = \int_{O_1}{\rm{rot}}f\dd \vec{n} - \int_{O_2}{\rm{rot}} f \dd \vec{n} \end{align}$ , wobei $\begin{align} \partial O_1 = \gamma_1 \text{ und } \partial O_2 =\gamma_2 \end{align}$ gilt, würde das Null geben, da die Rotation ja gerade Null ist. Habe ich hier etwas falsch verstanden, oder wie muss ich hier konkret vorgehen um die Aufgabe zu lösen? Gruss Sito
26.05.2017, 17:30	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konservatives Kraftfeld und Satz von Stokes Die Funktion ist auf der z-Achse nicht definiert, ihr Definitionsbereich also nicht einfach zusammenhaengend. Aus dem Verschwinden der Rotation kannst Du nur schliessen, dass geschlossene Wege, die in einfach zusammenhaengenden Teilen des Definitionsbereichs verlaufen, die Zirkulation null ergeben. Das ist aber fuer beide Wege nicht der Fall, beide laufen um die z-Achse rum. Entsprechen kannst Du $\begin{eqnarray} O_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} O_2 \end{eqnarray}$ fuer den Stokesschen Satz auch nicht so waehlen, wie Du Dir das wohl vorstellst.
26.05.2017, 17:36	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du mir dann vlt. einen Tipp geben wie ich die beiden Oberflächen zu wählen habe? Denn wenn ich mir das versuche vorzustellen gibt es keine Möglichkeit eine Fläche über diesen Rand zu legen ohne dabei die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse zu schneiden, höchstens wenn man die Fläche quasi parallel zur $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse ausrichtet, also so etwas wie einen Trichter darum bastelt, aber die Fläche muss doch geschlossen sein, oder nicht?.
26.05.2017, 17:50	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Trichter/Kegelstumpfmantel ist eine gute Idee. Der hat dann beide(!) Kurven als Berandungen. Musst Du bloss noch die richtigen Durchlaufrichtungen fuer positive Orientierung finden.
26.05.2017, 17:57	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich bin mir nicht sicher, aber als Parametrisierung würde ich vorschlagen: $\begin{align} \Phi : [0,2\pi] \to \mathbb{R}^3, \theta \mapsto \begin{pmatrix}-\cos\theta\\\sin\theta\\0\end{pmatrix} \end{align}$ , damit müsste ich doch den Kreis im Uhrzeigersinn umlaufen und so wäre die Fläche doch immer links von mir, oder?
26.05.2017, 18:16	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Fuer die Berandungen hast Du doch schon Parametrisierungen vorgegeben, $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ . Die haben entweder die richtige Orientierung oder die falsche. Damit hast Du schon: $\begin{eqnarray} \pm\oint_{\gamma_1}\ldots\pm\oint_{\gamma_2}\ldots=\int_{\text{Kegelstumpfmantel}}\ldots \end{eqnarray}$ Legen wir also fest, dass wir die aeussere Normale an den Kegelstumpfmantel als positiv bezeichnen wollen. Dann musst Du zuerst die Vorzeichen fuer die Wegintegrale ueber $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ richtig angeben. Danach kannst Du schon rechnen. Eine konkrete Parametrisierung fuer Deinen Trichter brauchst Du gar nicht.
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26.05.2017, 20:22	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also in diesem Fall wäre es dann : $\begin{align} -\int_{\gamma_1} f \dd \vec{s}+\int_{\gamma_2} f \dd \vec{s} &= - \int_0^{2\pi} \left\langle\begin{pmatrix}2\sin\varphi \\ -2\cos\varphi\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-\sin\varphi \\ \cos\varphi \\0\end{pmatrix} \right\rangle \dd \varphi + \int_0^{2\pi} \left\langle\begin{pmatrix}2\cos\varphi + \sin\varphi \\ 2\sin\varphi-\cos\varphi\\\log4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2\sin\varphi \\ 2\cos\varphi \\0\end{pmatrix} \right\rangle \dd \varphi \\ &= - \int_0^{2\pi} - 2\sin^2\varphi -\cos^2\varphi \dd \varphi + \int_0^{2\pi}- 2\sin^2\varphi -\cos^2\varphi \dd \varphi =0 \end{align}$ Sollte das rauskommen?
26.05.2017, 21:03	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll in der Tat $\begin{eqnarray} \oint_{\gamma_1}\vec{f}\cdot d\vec{s}-\oint_{\gamma_2}\vec{f}\cdot d\vec{s}=0 \end{eqnarray}$ rauskommen, aber die Aufgabe sagt, Du sollst das mit dem Satz von Stokes ausrechnen. Wie lautet denn jetzt Deine Formel mit Stokes und Trichterflaeche? Hast Du wenigstens eine Skizze gemacht?
26.05.2017, 21:22	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in meinem Kopf sieht das momentan so aus: http://fs5.directupload.net/images/170526/nb2jc687.png Und nun muss man halt, die beiden Flussintegrale durch die beiden Flächen berechnen und sie dann voneinander subtrahieren..
26.05.2017, 21:39	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Weclhe beiden Flaechen meinst Du denn jetzt? Schon oben hatten wir doch nur noch eine Flaeche, eben den Mantel des Kegelstumpfes/Trichters -- ohne Boden und Deckel, dafuer aber mit zwei Randkurven $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ ...
26.05.2017, 21:50	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun das mit dem Trichter war, sagen wir mal, gut geraten. Mein Problem ist, dass wir ja eigentlich folgendes haben: $\begin{align} \int_{\gamma_1=\partial O_1}f\cdot \dd \vec{s} - \int_{\gamma_2=\partial O_2}f\cdot \dd \vec{s} = \int_{O_1}{\rm{rot}}f\dd \vec{n} - \int_{O_2}{\rm{rot}} f \dd \vec{n} = \int_{M} {\rm{rot}}f\dd \vec{n} \end{align}$ , wobei $\begin{align} M \end{align}$ hier die Mantelfläche des Trichters sein soll. Leider ist mir aber nicht wirklich klar, wieso genau das funktioniert, bzw. wieso es erlaubt ist das so umzuschreiben. Zudem kommt dann noch dazu, dass ich nicht weiss, wie man die Mantelfläche parametrisiert um dann das Flussintegral auszurechnen.
26.05.2017, 22:41	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss nicht, was $\begin{eqnarray} O_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} O_2 \end{eqnarray}$ sein soll. Wenn $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ die Matelflaeche ist, besteht deren Berandung aus zwei Teilen, die durch $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ separat parametrisiert werden. Wenn Du Bedenken hast, den Satz von Stokes auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ direkt anzuwenden, dann kannst Du $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ durch einen Schnitt mit der xz-Ebene in zwei Haelften $\begin{eqnarray} M_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_2 \end{eqnarray}$ zerlegen. Diese Haelften passen dann garantiert fuer jede Formulierung des Satzes von Stokes und man hat $\begin{eqnarray} \int_M\operatorname{rot}\vec{f}\cdot d\vec{o}=\int_{M_1}\operatorname{rot}\vec{f}\cdot d\vec{o}+\int_{M_2}\operatorname{rot}\vec{f}\cdot d\vec{o}=\oint_{\phi_1}\vec{f}\cdot d\vec{s}+\oint_{\phi_2}\vec{f}\cdot d\vec{s}=\ldots \end{eqnarray}$ Hier sind die Berandungen groesser wegen der Schnittlinien, aber wenn man richtig orientiert, heben sich die Wegintegrale ueber die Schnittlinien in der Summe wieder weg. Es endet auch dann mit $\begin{eqnarray} \ldots=\oint_{\gamma_1}\vec{f}\cdot d\vec{s}-\oint_{\gamma_2}\vec{f}\cdot d\vec{s} \end{eqnarray}$ . Und eine Parametrisierung von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ kann man sich wegen $\begin{eqnarray} \operatorname{rot}\vec{f}=\vec{0} \end{eqnarray}$ komplett sparen. Mehr faellt mir dazu eigentlich nicht mehr ein.

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