Unendlich viele lineare Abbildungen von R4 nach R2

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26.05.2017, 17:47	btrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich viele lineare Abbildungen von R4 nach R2 Meine Frage: Hallo, Es soll gezeigt werden, dass es unendlich viele lineare Abbildungen $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ gibt, die die Bedingungen $\begin{eqnarray} f(\left( \begin{array}{c}1\\3\\2\\-1\end{array} \right)) =\left( \begin{array}{c}1\\1\end{array} \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(\left( \begin{array}{c}2\\0\\1\\4\end{array} \right)) =\left( \begin{array}{c}2\\1\end{array} \right) \end{eqnarray}$ erfüllen. Wie kann ich diese Aufgabe lösen (ohne Matrizen)? Meine Ideen: Man sieht direkt, dass die beiden Vektoren in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ lin. unabhängig sind, aber noch keine Basis bilden. Man könnte z.B. noch die Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} e_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_4 \end{eqnarray}$ hinzunehmen um eine Basis zu erhalten. Wie finde ich damit jetzt lineare Abbildungen?
26.05.2017, 17:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was weißt Du über die Eindeutigkeit von linearen Abbildungen?
26.05.2017, 18:00	btrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f': V \rightarrow W \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(v_i) = w_i = f'(v_i) \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} f = f' \end{eqnarray}$ .
26.05.2017, 18:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist dabei $\begin{align} v_i \end{align}$ und $\begin{align} w_i \end{align}$ ?
26.05.2017, 18:05	btrix	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} v_i \in V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_i \in W \end{eqnarray}$ also hier $\begin{eqnarray} v_i \in \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_i \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$
26.05.2017, 18:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du missverstehst mich: Müssen alle Bilder gleich sein, damit die Abbildungen identisch sind, oder reichen evt. nur endlich viele? Wenn letzteres der Fall ist: Für welche Vektoren reicht gleichheit der Bilder aus, um identische Abbildungen zu erhalten?
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26.05.2017, 18:16	btrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht worauf du hinaus willst. Ich möchte doch unendlich viele unterschiedliche Abbildungen finden.. Sorry blicke bei dem Thema noch nicht ganz durch
26.05.2017, 18:20	btrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Abbildungen sollten für die beiden Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ eben auf $\begin{eqnarray} \binom{1}{1} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \binom{2}{1} \end{eqnarray}$ abbilden
26.05.2017, 18:21	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, also ist Dir noch nicht bekannt, dass eine lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis eindeutig festgelegt ist?
26.05.2017, 18:26	dtrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, über die lineare Hülle der Basis.
26.05.2017, 18:27	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann hast Du doch alles, was Du brauchst. Wieviele Basiselemente hat dein Ausgangsraum und wieviele Bilder sind dadurch bislang festgelegt? Wie kommst Du zu den fehlenden?
26.05.2017, 18:32	btrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Basiselemete die beiden Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ und als Bilder die beiden Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ . Die Basis könnte ich noch mit den Einheitsvektoren $\begin{eqnarray} e_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e_4 \end{eqnarray}$ erweitern. Wie mache ich dann weiter?
26.05.2017, 18:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nächste Frage: Wieviele Möglichkeiten hast Du diesen beiden Vektoren Bilder zuzuordnen?
26.05.2017, 18:53	dtrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke mal unendlich viele, weil sie ja nur für die beiden gegebenen Vektoren im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ festgelegt sind. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich jetzt z.B. ein lineares Gleichungssystem aufstelle, wo ich das dann sehe
26.05.2017, 18:58	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn das Problem an der Begründung, dass Du den zwei Basivektoren unendlich viele Vektoren aus dem $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ zuordnen kannst? Aufgrund der Linearität ergibt sich für jeden dieser Vektorpaare eine neue Abbildung und es gibt nun einmal unendlich viele Vektoren im $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ .
26.05.2017, 19:12	dtrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich soll auch noch zeigen, dass alle diese Abbildungen an der Stelle $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den gleichen Wert annehmen und diesen angeben.
26.05.2017, 19:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tatsache, dass sämtliche Abbildungen diesem Vektor dasselbe Bild zuordnen sollte Dir eigentlich sagen, wovon diese Kombination abhängt.
26.05.2017, 19:30	btrix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay logisch. Danke

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