Isomorhie Z/mZ x Z/nZ und Z/mnZ

27.05.2017, 10:33

forbin

Isomorhie Z/mZ x Z/nZ und Z/mnZ

Hallo ihr Lieben,

Zitat:

Es seien n und m zueinander teilerfremde ganze Zahlen. Zeigen Sie, daß die Gruppen
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z/nm\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/m\mathbb Z \times \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ zueinander isomorph sind.

Nun, dazu muss ich eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z/m\mathbb Z \times \mathbb Z/n\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z/nm\mathbb Z \end{eqnarray*}$ finden.

Dazu habe ich mir überlegt, die Elemente aus Z/mnZ folgendermaßen anzuordnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (0,0) & (1,0) & ... & (n-1,0) \\ (1,0) & (1,1) & ... & (n-1,1) \\ \vdots \\ (0,m-1) & (1,m-1) & ... & (n-1,m-1)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und mit der Abbildung f überführen in:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & m & ... & (n-1)m\\ 1 & (m+1) & ... &(n-1)m+1 \\ \vdots \\ (m-1) & 2m-1 & ... & nm-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

f sieht dann also so aus:
$\begin{eqnarray*} f: (i,j) \mapsto (j-1)m+(i,1) \end{eqnarray*}$

Ist das bisher korrekt?
Es scheitert nun leider am formalen Beweis der Bijektivität verwirrt

Für Surjektivität muss ich ja zeigen, dass der gesamte Bildbereich getroffen wird.
Aber wie mache ich das formal?

27.05.2017, 11:02

tatmas

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Hallo,

versuch lieber eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/nm \mathbb Z \to \mathbb Z /n \mathbb Z \times \mathbb Z/m \mathbb Z \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben.
Das geht deutlich angehmer als die Umkehrabbidung.

Und es ist fast immer einfacher die Injektivität als die Surjektivität zu zeigen.

27.05.2017, 13:37

forbin

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Hm, aber wenn ich doch eine Bijektion finde ist doch die Richtung egal, oder?
Und ich muss ja beides zeigen, also Injektiv und surjektiv. Die Surjektivität hatte ich nur exemplarisch genannt.

27.05.2017, 17:02

tatmas

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Zitat:

Original von forbin
Hm, aber wenn ich doch eine Bijektion finde ist doch die Richtung egal, oder?

Richtig, und genau deswegen empfehle ich die Richtung zu nehmen in der die Abbildung einfach aufzuschreiben ist und dementsprechend auch einfach ist damit zu arbeiten.

Zitat:

Und ich muss ja beides zeigen, also Injektiv und surjektiv. Die Surjektivität hatte ich nur exemplarisch genannt.

Nein, es reicht eines. Du hast eine Abbildung zwischen zwei endlichen Mengen gleicher Mächtigkeit,

27.05.2017, 19:00

Elvis

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Es genügt nicht, eine Bijektion zu finden. Die Mengen sind gleichmächtig, d.h. per Definition, dass es eine Bijektion gibt. Gesucht ist ein bijektver Gruppenhomomorphismus.

27.05.2017, 23:38

forbin

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Geht es also mit meinem Vorgehen nicht?

28.05.2017, 11:24

Elvis

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Nein. Hattest du den Eindruck, dass da etwas geht ? Den entscheidenden Hinweis hat tatmas dir schon längst gegeben. Mir fällt beim besten Willen nur eine Möglichkeit ein, wie man hier einen Isomorphismus ansetzen kann. (Du musst einer Restklasse zwei Restklassen zuordnen, was denn sonst.)

28.05.2017, 16:31

forbin

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Antwortest du immer so gereizt, wenn jemand - der nicht so viel Ahnung hat wie du- eine Nachfrage stellt? (Komm mir jetzt bitte nicht mit "alles wurde gesagt, du hast nicht nachgedacht...", da sind im Forum mittlerweile nur noch Floskeln).

28.05.2017, 16:40

tatmas

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@forbin:
Bist du denn mit deinem oder meinem Ansatz bereits weitergekommen?
Wenn nein, wo hängts?

28.05.2017, 17:59

Elvis

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Zitat:

Original von Elvis
(Du musst einer Restklasse zwei Restklassen zuordnen, was denn sonst.)

Das ist doch keine Floskel, das ist die Lösung. Was kann man denn noch für dich tun, außer diese Zuordnung hinschreiben ? ja bitte, hier ist sie:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb Z/nm\mathbb Z\to \mathbb Z/n\mathbb Z\times \mathbb Z/m\mathbb Z, x+nm\mathbb Z\mapsto (x+n\mathbb Z,x+m\mathbb Z) \end{eqnarray*}$

Bitte beweise, dass diese Zuordnung wohldefiniert, bijektiv (zeige bitte injektiv oder surjektiv) und homomorph ist.

(Wie kommst du darauf, ich sei gereizt ? Wenn du jetzt fragst, was "wohldefiniert", "injektiv" oder "homomorph" heißt, bekommst du eine völlig unaufgeregte und ganz reizende Definition.)

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