Unabhängige Zufallsvariablen, Poisson-Verteilung

27.05.2017, 10:47

Sabbse92

Unabhängige Zufallsvariablen, Poisson-Verteilung

Hallo zs,

Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ zwei unabhängige diskrete Zufallssvariablen. Zeigen Sie

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X\cdot Y)=\mathbb E(X)\cdot \mathbb E(Y)\ \end{eqnarray*}$

Gilt eine ähnliche Gleichung $\begin{eqnarray*} \mathbb V(X\cdot Y)= \mathbb V(X) \cdot \mathbb V(Y) \end{eqnarray*}$ für die Varianz? Begründen Sie Ihre Anwort.

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallssvariable mit Poisson Verteilung mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Varianz

$\begin{eqnarray*} \mathbb V(X)=\lambda. \end{eqnarray*}$
ist.

Zur ersten Teilaufgabe:

-
$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)\cdot \mathbb E(Y)\ = \sum_n n \mathbb P(X=n) \cdot \sum_m \mathbb P(Y=m)= \sum_n \sum_m nm \cdot \mathbb P(X=n, Y=m) =......= \sum_k k \cdot \mathbb P(XY=k)=\mathbb E(XY) \end{eqnarray*}$

Aus der Aufgabenstellung geht nicht hervor welche Werte X,Y annehmen können. Wenn ich annehme, dass die Summe endlich ist, kann ich nm zusammenfassen und das ganze nur über seine Summe laufen lassen. Ich weiß aber nicht wie ich die Argumente in $\begin{eqnarray*} \mathbb P(X=n, Y=m) \end{eqnarray*}$ zusammenfassen soll.

-
$\begin{eqnarray*} \mathbb V(X Y) = \mathbb E ( (XY)^2) - \mathbb{(E} (XY))^2 = \mathbb E(\phi (XY)) - \mathbb E(XY) \mathbb E(XY) = \mathbb E(\phi(X)) \mathbb E(\phi(Y)) - \mathbb E(X) \mathbb E(Y) \mathbb E (X)\mathbb E(Y) \\ = \mathbb E(X^2) \mathbb E(Y^2) - \mathbb E(X^2) \mathbb E(Y^2) = 0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \phi(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ . Ist Rechnung korrekt? Falls ja, müsste ich nur noch untersuchen wann $\begin{eqnarray*} V(X) \cdot V(Y) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

27.05.2017, 15:09

RichterAlexanderHold

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Mit dem Erwartungswert bin ich einverstanden. Bei der Varianz hast du dich bei der letzen Umformung vertan. Im letzten Term wird der Erwartungswert quadriert nicht die Zufallsvariable. Dann ergibt sich nämlich nicht null Augenzwinkern

27.05.2017, 17:00

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \mathbb V(X\cdot Y)= \mathbb V(X) \cdot \mathbb V(Y) \end{eqnarray*}$ kann man ganz einfach ad absurdum führen, indem man z.B. mal $\begin{align*} Y=1 \end{align*}$ (d.h. deterministisch) betrachtet...

Zum ersten Teil: Seien $\begin{align*} D_X \end{align*}$ , $\begin{align*} D_Y \end{align*}$ sowie $\begin{align*} D_{XY} \end{align*}$ die jeweils höchstens abzählbaren Wertebereiche von $\begin{align*} X \end{align*}$ , $\begin{align*} Y \end{align*}$ sowie $\begin{align*} XY \end{align*}$ . Dann gilt für $\begin{align*} k\in D_{XY} \end{align*}$ :

$\begin{align*} P(XY=k) = \sum_{\substack{n\in D_X,m\in D_Y:\\nm=k}} P(X=n,Y=m) \end{align*}$ .

Das ist sozusagen das fehlende Bindeglied in deiner obigen Gleichungskette.

28.05.2017, 20:43

Sabbse92

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Danke euch beiden.

Das mit der Varianz habe ich hingekriegt. HAL 9000 was passiert mit den Termen wofür gilt, dass $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$ . Der Durchschnitt muss doch nicht zwangsweise leer sein?

28.05.2017, 22:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sabbse92
HAL 9000 was passiert mit den Termen wofür gilt, dass $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$ . Der Durchschnitt muss doch nicht zwangsweise leer sein?

Ich verstehe Null und Nichts von dem, was du hier anmerkst: Inwiefern soll $\begin{eqnarray*} n\neq m \end{eqnarray*}$ hier irgendeine Rolle spielen? Von welchem Durchschnitt redest du? Stell vernünftige Fragen!

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