Taylorreihe für ein Integral

27.05.2017, 16:41

KonverDiv

Taylorreihe für ein Integral

Hallo,

ich soll die Taylorreihe eines Integrals berechnen.
Mein Ansatz wäre jetzt das Integral zu nehmen und zu integrieren, sodass ich dann eine Ausgeleitete Funktion bekomme. Die würde ich dann X-Mal ableiten und eine Taylorreihe aufstellen.

Ist mein Ansatz richtig, oder wie wird eine Taylorreihe eines Integrals berechnet?
Besten Dank!

27.05.2017, 16:51

HAL 9000

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Bitte genauer! Die Taylorreihe $\begin{align*} T_f(x) \end{align*}$ bestimmt man zu einer Funktion $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ . Wenn deine Funktion über ein Integral definiert ist, bitte sehr, aber dann gib bitte an, wie dein Integral von x abhängt - als obere Grenze, oder wie, oder was? Erstaunt1

27.05.2017, 17:00

KonverDiv

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Also die Original Aufgabe ist:

Berechne die Taylorreihe um $\begin{eqnarray*} x_{0} = 1 \end{eqnarray*}$ für das Integral
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{cos(x)}{x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

27.05.2017, 18:36

HAL 9000

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Hmm, eine eindeutige Definition der Funktion ist da ja nun nicht gerade, da das unbestimmte Integal (=Stammfunktion) die Integrationskonstante offenlässt. Sei's drum, es ist also $\begin{align*} f(x) = \int g(x) ~ \dd x \end{align*}$ mit einer gegebenen Funktion $\begin{align*} g \end{align*}$ . Dann ist $\begin{align*} f'(x)=g(x) \end{align*}$ und deshalb hat die Taylorreihe die Gestalt

$\begin{align*} f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}\cdot (x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}\cdot (x-x_0)^3 + \ldots = f(x_0) + \frac{g(x_0)}{1!}\cdot (x-x_0) + \frac{g'(x_0)}{2!}\cdot (x-x_0)^2 + \frac{g''(x_0)}{3!}\cdot (x-x_0)^3 + \ldots \end{align*}$ ,

einfach durch Einsetzen! Dabei bleibt $\begin{align*} f(x_0) \end{align*}$ offen, solange du keine Aussagen zur Größe der Integrationskonstanten machst.

28.05.2017, 11:28

KonverDiv

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Ok, ich hoffe ich habe das soweit richtig verstanden, dass ich dann die Funktion im Integral g(x) nehme und mehrfach ableite und einmal integriere?

28.05.2017, 11:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von KonverDiv
dass ich dann die Funktion im Integral g(x) nehme und mehrfach ableite und einmal integriere?

Woraus liest du das ab?

28.05.2017, 11:46

KonverDiv

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achso, ja da habe ich mich jetzt geirrt.

Ich hatte bei der von dir aufgestellten Taylorreihe nicht f(x0) gelesen sondern F(x0) interpretiert Big Laugh

28.05.2017, 11:51

HAL 9000

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Ja, und dieses $\begin{align*} f(x_0) \end{align*}$ kann beliebig gewählt werden - alle diese Reihen sind (innerhalb ihres Konvergenzintervalls natürlich) passende Stammfunktionen zu $\begin{align*} \frac{\cos(x)}{x+1} \end{align*}$ .

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