Stetige Fortsetzung

27.05.2017, 17:18

zinR

Stetige Fortsetzung

Hi,

ich möchte die Quotientenabbildung $\begin{eqnarray*} q: \mathbb{C} \times \mathbb{C}\setminus\{ 0\} \to \mathbb{C}, q(x,y)=\frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ stetig zu einer Abbildung $\begin{eqnarray*} Q : (\mathbb{C} \cup \{\infty \} )^2 \setminus \{ (0,0), (\infty, \infty) \} \to \mathbb{C}\cup\{ \infty \} \end{eqnarray*}$ fortsetzen.

Ich dachte dabei an $\begin{eqnarray*} Q(x,y) := \begin{cases} q(x,y) & \text{für } x \in \mathbb{C}, y \in \mathbb{C} \setminus \{ 0\}, \\ \infty & \text{für } x= \infty, y \in \mathbb{C}, \\ \infty & \text{für } x \in \mathbb{C}\cup \{ \infty \}, y = 0, \\ 0 & \text{für } x \in \mathbb{C} , y= \infty . \end{cases} \end{eqnarray*}$

Stetigkeit ist bezüglich der Teilraumtopologie zur Produkttopolgie der Standardtopologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ und der Standardtopologie selbst zu verstehen, d.h. ich möchte für offenes $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{C}\cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Q^{-1} [M] \end{eqnarray*}$ offen bzgl. der Teilraumtopologie der Produkttopologie zu $\begin{eqnarray*} (\mathbb{C} \cup \{ \infty \} )^2 \end{eqnarray*}$ ist.

( $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{C} \cup \{ \infty \} \end{eqnarray*}$ heißt offen, wenn $\begin{eqnarray*} M \cap \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb {C} \end{eqnarray*}$ und falls $\begin{eqnarray*} \infty \in M \end{eqnarray*}$ , so $\begin{eqnarray*} \exists r \in \mathbb{R} \forall x \in \mathbb{C} : \vert x \vert >r \Rightarrow x \in M \end{eqnarray*}$ . )

Es gibt eine Metrik, die die Standardtopologie erzeugt, und ich habe schon versucht, die Stetigkeit dann mittels $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ -Argument zu zeigen, aber auch hier stoße ich auf Probleme. (Abgesehen davon, dass es sehr aufwendig ist...)
Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen. smile

27.05.2017, 18:01

10001000Nick1

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Diese Topologie wird von der chordalen Metrik induziert. Damit und mit dem Folgenkriterium sollte man die Stetigkeit zeigen können.

(Die Stetigkeit in Punkten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb C\times (\mathbb C\setminus \{0\}) \end{eqnarray*}$ brauchst du ja nicht mehr zu zeigen; und für die anderen Fälle braucht man wohl noch ein paar Fallunterscheidungen, aber einen kürzeren Weg sehe ich gerade nicht.)

27.05.2017, 18:49

zinR

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Ok, darf ich das dann z.B. im Fall $\begin{eqnarray*} x = \infty , y \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ so machen: ( $\begin{eqnarray*} d' \end{eqnarray*}$ bezeichnet im folgenden die chordale Metrik, $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ die entsprechende Produktmetrik.)

Sei eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n , y_n)_{n \in \mathbb{N}} \in ((\mathbb{C} \cup \{ \infty \} )^2)^{\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} d((x_n, y_n),(\infty , y))=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} \max \{d'(x_n, \infty), d'(y_n, y) \}=0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

O.B.d.A. sei dabei $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb{C}, y_n \in \mathbb{C}\setminus\{0\}, \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . (Darf ich das?)

Insbesondere ist dann $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2 \vert y_n -y \vert}{\sqrt{1+\vert y_n \vert^2 } \sqrt{1 + \vert y \vert ^2 }} =0 = \lim\limits_{n\to \infty}\frac{2}{\sqrt{1 + \vert x_n \vert^2 }} \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} \vert y_n -y \vert =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} \vert x_n \vert = + \infty \end{eqnarray*}$ .

Es folgt $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \to \infty} d'(\frac{x_n}{y_n}, \infty ) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1 + \vert \frac{x_n}{y_n} \vert ^2 }} = 0 \end{eqnarray*}$ , und das war ja zu zeigen.

27.05.2017, 19:36

10001000Nick1

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Zitat:

Original von zinR
O.B.d.A. sei dabei $\begin{eqnarray*} x_n \in \mathbb{C}, y_n \in \mathbb{C}\setminus\{0\}, \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . (Darf ich das?)

Nein, ich denke nicht. (Das ist immerhin schon eine ziemlich starke Beschränkung der Allgemeinheit Augenzwinkern

)

Wegen $\begin{eqnarray*} |x_n|\to +\infty, y_n\to y \end{eqnarray*}$ gibt es einen Index $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n\in\mathbb C, |y_n|<|y|+1 \end{eqnarray*}$ , und somit:

$\begin{eqnarray*} d'(Q(x_n, y_n), \infty)=\begin{cases} \frac{2}{\sqrt{1+|\frac{x_n}{y_n}|^2}} & \text{ falls } x_n\in\mathbb C, y_n\in\mathbb C\setminus\{0\} \\ 0 & \text{ sonst} \end{cases} \xrightarrow{n\to\infty} 0 \end{eqnarray*}$ .

27.05.2017, 20:24

zinR

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Alles klar, danke dir! smile

28.05.2017, 16:26

10001000Nick1

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Wenn du Lust hast, kannst du ja auch noch beweisen, dass es keine stetige Fortsetzung in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (\infty, \infty) \end{eqnarray*}$ gibt. Augenzwinkern

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