Lineare Abbildung - Basiswechsel (Abbildungsmatrix bezgl. neuer Basis finden)

27.05.2017, 20:50	Alfred J. Kwak	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung - Basiswechsel (Abbildungsmatrix bezgl. neuer Basis finden) Meine Frage: Hi, ich habe eine kleine Verständnisfrage. Angenommen, man hat eine lineare Abbildung gegeben, also eine Abbildungsmatrix bzgl. einer Basis A, und man soll jetzt die Abbildungsmatrix (also lineare Abbildung) bzgl. einer anderen Basis B bestimmen. Wie macht man das? Meine Ideen: Ich hab einiges im Internet gefunden, aber bin noch etwas verwirrt, weil es tausend verschiedene Situationen gibt und ich mir hier nicht sicher bin. Ist das hier korrekt?: $\begin{eqnarray} <br /> \phi_B = T^A_B \phi_A * T^B_A<br /> \end{eqnarray}$ T ist die Transformationsmatrix und A die Abbildungsmatrix bzgl. Basis A Ich hab mir folgendes dabei gedacht: Man will die Abbildung ja bezüglich Basis B sehen. Dazu schmeißt man einen Vektor (Basis B) rein, der wird transformiert zur Basis A, damit er kompatibel zu $\begin{eqnarray} \phi_A \end{eqnarray*}$ ist. Die bildet den Vektor ab und dann wird er wieder transformiert zur Basis B. Ist das richtig so? Danke! Lg
28.05.2017, 08:04	RipHarambe	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt. Jetzt musst du nur noch wissen wie die Basiswechselmatrix T aufgestellt wird.
28.05.2017, 09:15	Alfred J. Kwak	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. Hmm, ich glaube, es gibt da zwei Wege (die im Grunde vermutlich identisch sind): Generell muss man ja die Basisvektoren von A mittels einer Linearkombination der Basisvektoren von B darstellen. Das müsste doch mit einem LGS gehen, oder? $\begin{eqnarray} a_1 = x b_1 + y * b_2 \end{eqnarray*}$ und das für alle [latex]\a_i[latex]. Oder man benutzt das Gauß-Jordan-Verfahren, was manchmal etwas schneller geht.
28.05.2017, 10:08	RipHarambe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du eine Basiswechselmatrix aufstellen möchtest, die von der Basis B zur Basis A transformiert: Die Vektoren der "alten" Basis B werden durch die "neue" Basis A linear kombiniert: $\begin{eqnarray} b_i = \sum \alpha_i \cdot a_i \end{eqnarray}$ Die Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b_1 \end{eqnarray}$ bilden dann die erste Spalte der Basiswechselmatrix und für $\begin{eqnarray} b_2 \end{eqnarray}$ dann entsprechend die zweite Spalte, usw. Wenn du jetzt die Basiswechselmatrix hast die von B zu A transformiert, kannst du durch das Invertieren dieser Matrix die Basiswechselmatrix bekommen, die von A zu B geht (oder du machst wieder die Methode mit den Linearkombinationen wie oben)
28.05.2017, 11:06	Alfred J. Kwak	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay Danke Ich denke, ich habs jetzt verstanden

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