Stetigkeit eines Integrals unter verschiedenen Normen

28.05.2017, 21:41

Timos

Stetigkeit eines Integrals unter verschiedenen Normen

Meine Frage:
Ist $\begin{eqnarray*} T: C([a,b]) --> |R , f --> \int_{a}^{b} \! f(x) \ , dx \end{eqnarray*}$ stetig, bezüglich der Supremumsnorm bzw. $\begin{eqnarray*} ||f||_1 = \int_{a}^{b} \! |f(x)| \, dx \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Da das Integral ein linearer operator sein sollte, wollte ich die beschränktheit nachprüfen: $\begin{eqnarray*} ||T(f)|| \leq C*||f|| \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz für die Sup-Norm: (ex. da $\begin{eqnarray*} f \in C([a,b],R) ) \end{eqnarray*}$ ,dann folgt
$\begin{eqnarray*} ||T(f(x))|| \end{eqnarray*}$ (euklidische Norm) $\begin{eqnarray*} = | \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx | \leq \int_{a}^{b} \! |f(x)| \leq sup |f(x)| * |(b-a)| = ||f(x)|| * C \end{eqnarray*}$ (Supremumsnorm).

Zur $\begin{eqnarray*} || ||_1 \end{eqnarray*}$ Norm:
$\begin{eqnarray*} | \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx | \leq 1 * \int_{a}^{b} \! |f(x)| = 1 * ||f||_1 \end{eqnarray*}$ .

Das kommt mir zu kurtz und falsch vor , wie könnte man den diese Aufgabe lösen?

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

28.05.2017, 22:07

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: stetigkeit eines Integrals unter verschiedenen Normen

Zitat:

Das kommt mir zu kurtz

das kommt mir falsch vor smile

Deine Lösung sieht für mich richtig aus.

Neue Frage »

Antworten »

Stetigkeit eines Integrals unter verschiedenen Normen

Verwandte Themen