Verstärker Übertragungsfunktion -> Frequenz aus komplexem Nenner lösen

29.05.2017, 07:42

aslmx

Verstärker Übertragungsfunktion -> Frequenz aus komplexem Nenner lösen

Hi nochmal,

Ich habe eine Übertragungsfunktion bzw. den Amplitudengang den ich bereits in ein Bode-Diagramm eingezeichnet habe. Nun soll die Durchschnittsfrequenz rechnerisch ermittelt werden.

Nachdem ich rausgefunden habe, dass die Durchschnittsfrequenz jene Frequenz ist, bei der die Amplitude die Abzisse durchbricht, also quasi 1 = 0 db ist, konnte ich die Frequenz grafisch + iterativ bestimmen.

$\begin{eqnarray*} F(j \omega) = \frac{U_A(j \omega) }{U_E(j\omega)} = - \frac {R_2}{R_1} \cdot \frac {1}{1 + j \omega R_2 \cdot C}= - \frac {10 k \Omega}{ 1k \Omega} \cdot \frac{1}{1 + j \omega 10^4 \frac {V}{A} \cdot 10^{-9} \frac {As}{V} } = \frac {10 }{ 1 + j \omega 10^{-4} s} \end{eqnarray*}$

Nun versuche ich den Frequenzgang
$\begin{eqnarray*} \frac {10 }{ 1 + j \omega 10^{-4} s} \end{eqnarray*}$

nach f aufzulösen. Die Frequenz versteckt sich ja im Omega = 2 pi f

Die Durchschnittsfrequenz ist die, bei der der Verstärkungsfaktor = 1 ist.

$\begin{eqnarray*} 20 \cdot log \left ( \frac {U_A(j \omega)} {U_E(j\omega)} \right) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} log \left ( \frac {10 }{ 1 + j \omega 10^{-4} s} \right) = \frac {1}{20} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left ( \frac {10 }{ 1 + j \omega 10^{-4} s} \right) = 10^{\frac {1}{20} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + j \omega 10^{-4} s = \frac {10}{ 10^{ \frac {1}{20} }} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + j 2 \pi f 10^{-4} s = \frac {10}{ 10^{ \frac {1}{20} }} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \pi f 10^{-4} s = \frac {10}{ 10^{ \frac {1}{20} }} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f = \frac {\frac {10}{ 10^{ \frac {1}{20} }} -1 } { 2 \pi 10^{-4} s} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f= 12593 \frac{1}{s} = 12,593kHz \end{eqnarray*}$

Immerhin kommt das schon fast in den Bereich den ich grafisch/iterativ bestimmt habe, nämlich ~14300 Hz

Aber trotzdem unterscheiden sich die Werte zu stark.

Ich hab irgendwie das Gefühl das es mit dem komplexen Bruch bzw. Nenner zu tun hat und ich das j nicht einfach unter dne Tisch fallen lassen darf. Wenn ich allerdings komplex-konjugiere, dann muss ich das doch auf beiden Seiten der Gleichung machen und hab dann auf der "Zahlenseite" komplexe Zahlen die ich nicht da haben möchte.

Komme da irgendwie nicht weiter. Ist mein Ansatz überhaupt richtig, dass über die erste Gleichung (Amplitudengang = 1 setzen)?

Danke schonmal für eure Hilfe!

29.05.2017, 07:56

Steffen Bühler

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RE: Verstärker Übertragungsfunktion -> Frequenz aus komplexem Nenner lösen

Zitat:

Original von aslmx
Nachdem ich rausgefunden habe, dass die Durchschnittsfrequenz jene Frequenz ist, bei der die Amplitude die Abzisse durchbricht, also quasi 1 = 0 db ist
...
Die Durchschnittsfrequenz ist die, bei der der Verstärkungsfaktor = 1 ist.
...
$\begin{eqnarray*} 20 \cdot log \left ( \frac {U_A(j \omega)} {U_E(j\omega)} \right) = 1 \end{eqnarray*}$

Siehst Du den kleinen Widerspruch?

Viele Grüße
Steffen

29.05.2017, 08:06

aslmx

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RE: Verstärker Übertragungsfunktion -> Frequenz aus komplexem Nenner lösen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Siehst Du den kleinen Widerspruch?

Ach verdammt... geschockt

Ja. Jetzt nachdem du den kleinen Widerspruch nochmal hervorgehoben hast, sehe ihn auch...

Das hätte

20*log( ...) = 0db

heißen müssen, demnach kann ich mir das 20*log und das 0db auch sparen, wenn ich beim Faktor bleibe

UA/UE = 1

Dann komme ich mit

$\begin{eqnarray*} \frac {10 }{ 1 + j \omega 10^{-4} s} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + j \omega 10^{-4} s = 10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j \omega 10^{-4} s = 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f = \frac {9} { 2 \pi 10^{-4}} = 14323Hz \end{eqnarray*}$

Auch auf ein Ergebnis, dass sich tatsächlich richtig anhört...

Danke fürs Augenöffnen... manchmal brauch ich halt ne Extraeinladung um solche Sachen zu erkennen

Aber noch ne andere Frage:

das j einfach so zu ignorieren ist kein Fehler?

Danke+VG
Sebastian

29.05.2017, 08:27

Steffen Bühler

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RE: Verstärker Übertragungsfunktion -> Frequenz aus komplexem Nenner lösen

Zitat:

Original von aslmx
das j einfach so zu ignorieren ist kein Fehler?

Jedenfalls nicht, wenn die Durchschnittsfrequenz (von der ich persönlich noch nie was gehört habe) so definiert ist, wie Dein Diagramm es zeigt: $\begin{align*} F(|j \omega | ) =1 \end{align*}$ . Denn $\begin{align*} |j \omega | =\omega \end{align*}$ .

Allerdings habe auch ich hier etwas Bauchweh, denn erstens steht da eigenartigerweise $\begin{align*} F|(j \omega )| \end{align*}$ , was mathematisch falsch ist, zweitens hätte ich eigentlich eher $\begin{align*} |F(j \omega )| \end{align*}$ erwartet, also dass der Betrag des Frequenzgangs Eins werden soll. Dann darf man das j natürlich nicht ignorieren, sondern muss $\begin{align*} \left| \frac {10}{1+j \omega \cdot 10^{-4} s } \right|=1 \end{align*}$ lösen.

29.05.2017, 08:46

aslmx

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RE: Verstärker Übertragungsfunktion -> Frequenz aus komplexem Nenner lösen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Jedenfalls nicht, wenn die Durchschnittsfrequenz (von der ich persönlich noch nie was gehört habe) so definiert ist, wie Dein Diagramm es zeigt: $\begin{align*} F(|j \omega | ) =1 \end{align*}$ . Denn $\begin{align*} |j \omega | =\omega \end{align*}$ .

Ich stelle gerade peinlich fest, das ich mich da auch verlesen habe und es "Durchtrittsfrequenz" heißt. Google hat meinen Lesefehler aber einwandfrei korrigiert und ich hab es einfach weiterhin falsch gelesen. Vielleicht mal Brille putzen...

Als Durchtritt macht das ganze auch viel mehr Sinn... wo soll da auch der Durchschnitt sein? Nunja... Lernstress bedingte Aufmerksamkeitsstörung verwirrt

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Allerdings habe auch ich hier etwas Bauchweh, denn erstens steht da eigenartigerweise $\begin{align*} F|(j \omega )| \end{align*}$ , was mathematisch falsch ist, zweitens hätte ich eigentlich eher $\begin{align*} |F(j \omega )| \end{align*}$ erwartet, also dass der Betrag des Frequenzgangs Eins werden soll. Dann darf man das j natürlich nicht ignorieren, sondern muss $\begin{align*} \left| \frac {10}{1+j \omega \cdot 10^{-4} s } \right|=1 \end{align*}$ lösen.

Du hast Recht! Natürlich muss es $\begin{align*} |F(j \omega )| \end{align*}$ heißen.

Damit wäre ich dann wieder beim Anfang. Wie krieg ich den verflixten j da raus? verwirrt

Werd ich mir nochmal ein bisschen komplexe Zahlen reinziehen bis zur Übung am Donnerstag...

Danke schonmal so weit!

29.05.2017, 08:50

Steffen Bühler

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RE: Verstärker Übertragungsfunktion -> Frequenz aus komplexem Nenner lösen

Zitat:

Original von aslmx
Natürlich muss es $\begin{align*} |F(j \omega )| \end{align*}$ heißen.

Damit wäre ich dann wieder beim Anfang. Wie krieg ich den verflixten j da raus?

Entweder mit der komplex Konjugierten des Nenners erweitern oder bedenken, dass der Betrag eines Bruchs der Bruch der Beträge von Zähler und Nenner ist.

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