Lösung von cosh(z) mit Euler-Form

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29.05.2017, 15:24	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Hi ich habe einen komplexen cosinus hyperbolicus $\begin{eqnarray} cosh(z)=0 \end{eqnarray}$ meine Idee ist bis jetzt $\begin{eqnarray} cosh(a+ib)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{e^{a+ib}+e^{-a-ib}}{2} \end{eqnarray}$ Multiplikation mit 2 liefert dann: $\begin{eqnarray} e^{a+ib}+e^{-a-ib}=0 \end{eqnarray}$ jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich weiterrechnen kann... Ich wäre dankbar für eine Unterstützung!
29.05.2017, 15:32	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form $\begin{eqnarray} \cosh(z) = 0 \iff \|\cosh(z)\|^2 = 0 \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} \|z\|^2 = z \cdot \overline z \end{eqnarray}$ kann man das etwas vereinfachen.
29.05.2017, 15:33	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form OK, aber mit dem Exponentialausdruck geht das nicht so einfach?
29.05.2017, 15:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Wenn du damit arbeiten willst: Eine komplexe Zahl ist 0 gdw. Real- und Imaginärteil verschwinden. Mit Euler's Formel kriegst du den Real- und Imaginärteil schön in Sinus und Cosinus übersetzt.
29.05.2017, 15:36	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Kannst du das weiter ausführen?
29.05.2017, 15:38	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Ja. Aber generell kann ich wohl erwarten, dass du dir selbst 5 Minuten lang gedanken machst. Was ist die Euler Formel? Wie kann man damit den Real- und Imaginärteil von $\begin{eqnarray} e^{a+ib} \end{eqnarray}$ ausdrücken?
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29.05.2017, 15:45	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Ich kann dir gerade nicht 100%ig folgen, willst du auf e^z = e^x(cos(x)+i*sin(y)) hinaus?
29.05.2017, 15:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Fast. Naemlich $\begin{eqnarray} e^z = e^x(cos(y)+isin(y)) \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} z = x + iy \end{eqnarray}$ ist. Nun hast du $\begin{eqnarray} e^{a+ib} + e^{-a-ib}= 0 \end{eqnarray*}$ . Verwende die Regel und schaue mal was heraus kommt.
29.05.2017, 15:52	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Ich hoffe, dass ich jetzt nicht ganz so viele Fehler gemacht habe: $\begin{eqnarray} e^{a}(cos(b)+isin(b))+e^{-a}(cos(-b)+isin(-b))=0 \end{eqnarray}$
29.05.2017, 15:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Passt. Jetzt muss Real- und Imaginärteil verschwinden. D.h. etwas anders geschrieben hast du $\begin{eqnarray} (e^a \cos b + e^{-a} \cos (-b) ) + i ( e^a \sin b + e^{-a} \sin(-b)) = 0 + 0i \end{eqnarray}$ . Da Real- und Imaginaerteil 0 werden muessen, muessen gleichzeitig $\begin{eqnarray} e^a \cos b + e^{-a} \cos (-b) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^a \sin b + e^{-a} \sin(-b) = 0 \end{eqnarray}$ gelten. Mit den Symmetrie-Eigenschaften von $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ kann man das noch etwas vereinfachen und dann schon fast das Ergebnis ablesen.
29.05.2017, 16:02	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Ja da stimme ich dir soweit zu, ich habe zwar die Klammer bei cos(b) anders gesetzt. Aber unterm Strich ist es das gleiche. Der Cosinus ist 0 bei pi/2 und der Sinus ist 0 bei pi bzw 2 pi Jetzt weiß ich nur noch nicht, wie ich da jetzt eine Lösung angeben kann?
29.05.2017, 16:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Aus der Form kann wenigstens ich noch nicht die Lösung erkennen. Deswegen habe ich die Symmetrie vom Sinus- und Cosinus angesprochen. Also z.B. $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ ist achsensymmetrisch, also ...?
29.05.2017, 16:11	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Ich hätte jetzt gesagt, dass man den Cosinus verschieben könnte? Also Phasenverschiebung?
29.05.2017, 16:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Achsensymmetrisch heißt $\begin{eqnarray} \cos(b) = \cos(-b) \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} e^a \cos(b) + e^{-a} \cos(-b) = e^a \cos (b) + e^{-a} \cos(b) = \cos(b) ( e^a + e^{-a}) \end{eqnarray}$ .
29.05.2017, 16:14	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Achso, ja das meinte ich mit meinem anderen Beitrag (Klammer anders gesetzt), soweit bin ich auch gekommen. Leider aber nicht weiter
29.05.2017, 16:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Also, das heißt $\begin{eqnarray} \cos(b) (e^a + e^{-a} ) = 0 \end{eqnarray}$ , nach Nullproduktsatz also $\begin{eqnarray} \cos(b) = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^a + e^{-a} = 0 \end{eqnarray}$ . Fener folgt aus $\begin{eqnarray} \sin(b) ( e^a - e^{-a}) = 0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \sin(b) = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} e^{a} - e^{-a} = 0 \end{eqnarray}$ . Aus der ersten Gleichung kann man folgern, dass $\begin{eqnarray} \cos(b) = 0 \end{eqnarray}$ sein muss. Da $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ keine gemeinsamen Nullstellen haben, folgt aus der zweiten, dass $\begin{eqnarray} e^a - e^{-a} = 0 \end{eqnarray}$ . Nun gilt es beide aufzuloesen.
29.05.2017, 16:26	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Mit beide meinst du die Beiden Exponential Ausdrücke? Bzw: cos(b)=0 für b = pi/2 bzw -pi/2
29.05.2017, 16:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Mit beiden meine ich $\begin{eqnarray} \cos b = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^a - e^{-a} = 0 \end{eqnarray}$ . Die beiden notwendig und hinreichenden Bedingungen, dass $\begin{eqnarray} \cosh(a + ib) = 0 \end{eqnarray}$ ist..
29.05.2017, 16:30	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Okay also für den Cosinus wäre dass dan: cos(b)=0 für b = pi/2 bzw -pi/2
29.05.2017, 16:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösung von cosh(z) mit Euler-Form Da der Cosinus $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodisch ist, fehlen unendlich viele Lösungen. Aber ja, 2 davon sind das.
29.05.2017, 16:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Anmerkung: Bei besserer, durchdringender Kenntnis der komplexen Exponential- und Logarithmusfunktion geht es bedeutend kürzer. Äquivalent umformen ergibt $\begin{align} \cosh(z) = \frac{1}{2}\left(\exp(z)+\exp(-z)\right) &= 0\quad \bigm\|\;\cdot 2\exp(z)\quad \bigm\| \; -1\\ \exp(2z) &= -1 = \exp(\pi i)\quad \bigm\|\; \ln()\\ 2z &= \pi i + 2k\pi i \quad\mbox{mit}\;k\in\mathbb{Z} . \end{align}$ Bei letzerem geht natürlich ein, dass der komplexe Logarithmus als Umkehrung der komplexen Exponentialfunktion abzählbar viele Zweige hat.
29.05.2017, 16:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön HAL
29.05.2017, 16:36	KonverDiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich komme als Lösung auf für den Cosinus hatte ich das oben ja schon: b = pi/2 bzw -pi/2 und für den Sinus pi bzw -pi ??
29.05.2017, 16:40	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss mich dafür entschuldigen, wohl etwas zu früh gepostet zu haben - die Berechnung von a und b auf dem anderen Weg, die fast fertig ist, hätte ich noch abwarten müssen.
29.05.2017, 16:42	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist wirklich nicht danach mich 10 Mal zu wiederholen: Das sind NICHT alle Lösungen der Cosinus-Gleichung. Und die Sinus-Gleichung ist irrelevant. Ich habe es oben nur kurz angeschnitten. Die Idee dahinter war: du setzt dich dran und versuchst nachzuvollziehen was da steht und warum man es folgern kann. Stattdessen scheinst du es einfach komplett übergangen zu haben, um den "Chat" hier fortzusetzen.

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