Divergenz eines Vektorfeldes, Matrizen

29.05.2017, 16:39

Sito

Divergenz eines Vektorfeldes, Matrizen

Tag zusammen,

folgende Aufgabe:
Sei $\begin{align*} A\in {\rm{Gl}}_n(\mathbb{R}) \end{align*}$ und $\begin{align*} f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{align*}$ ein stetig diffbares Vektorfeld. Definieren Sie das Vektrofeld $\begin{align*} f_A := A \circ f\circ A^{-1} \end{align*}$ .

Beweisen Sie $\begin{align*} {\rm{div}}(f_A)(p) = {\rm{div}}(f)(A^{-1}p) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} p \in \mathbb{R}^n \end{align*}$ .

Zuerst einmal möchte ich wissen, ob es überhaupt möglich ist $\begin{align*} {\rm{div}}(f_A) \end{align*}$ zu berechnen, also nicht für einen konkreten Punkt, sondern quasi allgemein? Ich kenne auf jeden Fall keine Definition für die Divergenz auf Matrizen.

Ich habe dann versucht mal das ganze an Hand eines kleinen Bsp. durchzurechnen: Sei $\begin{align*} f= (x^2, xy)^T, A= \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix} \end{align*}$ .
$\begin{align*} f_A((3,4)^T) = (A\circ f\circ A^{-1})((3,4)^T) = A\cdot f(A^{-1}(3,4)^T) = A\cdot f(2/3,5/3) = A \cdot \begin{pmatrix}4/9\\10/9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\8 /3\end{pmatrix} \end{align*}$ . Stimmt das Vorgehen so? Also habe ich hier die Definition von $\begin{align*} f_A \end{align*}$ richtig verstanden?

Und naja, auch sonst komme ich beim Beweis nicht wirklich weiter.. Kann mir echt jemand einen Tipp geben?

Gruss Sito

29.05.2017, 17:10

system-agent

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes, Matrizen

Zitat:

Original von Sito
Zuerst einmal möchte ich wissen, ob es überhaupt möglich ist $\begin{align*} {\rm{div}}(f_A) \end{align*}$ zu berechnen, also nicht für einen konkreten Punkt, sondern quasi allgemein? Ich kenne auf jeden Fall keine Definition für die Divergenz auf Matrizen.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ ist auch nicht Matrixwertig sondern liefert pro Punkt $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ wieder einen Vektor, also $\begin{eqnarray*} f_A:\mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten kannst Du einfach die Divergenz wie immer berechnen, sofern Du Dir klar gemacht hast, dass $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ wieder differenzierbar ist.

Wie ist denn die Divergenz definiert? Und was ist die Ableitung einer linearen Funktion? Die beiden Antworten sollten Dir weiterhelfen.

29.05.2017, 17:52

005

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes, Matrizen
Nur so als etwas konkreteren Tipp: Man kann es in einer Zeile rechnen. Schreibe die Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ hin (Kettenregel!) und benutze, dass die Divergenz die Spur der Jacobi-Matrix ist.

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