Gebiet ohne isolierten Punkt

29.05.2017, 14:41	Plot	Auf diesen Beitrag antworten »
Gebiet ohne isolierten Punkt Sei $\begin{eqnarray} G\subseteq \mathbb C \end{eqnarray}$ Gebiet, $\begin{eqnarray} z_{0} \in G \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} G \backslash z_{0} \end{eqnarray}$ immer noch ein Gebiet ist. Wie beweist man das? Ich habe überlegt, zu benutzen, dass die Gebieteigenschaft äquivalent zum Wegzusammenhang ist. Oder eben offen und zusammenhängend. Aber trotzdem fehlt mir hier eine Beweisidee... Danke im Voraus!
29.05.2017, 14:58	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegzusammenhang klingt doch sehr gut. Seien $\begin{eqnarray} p,q\in G\setminus\{z_0\} \end{eqnarray}$ zwei Punkte. Es gibt einen stetigen Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , der die beiden Punkte verbindet. Du musst nun zeigen, dass falls dieser Weg durch den Punkt $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ geht, dann kannst Du ihn so abändern, dass der Punkt $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ "umschifft" wird. Dazu erinnere ich daran, dass es eine Kreisscheibe um $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ gibt, die ganz in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ enthalten ist...
29.05.2017, 15:04	Plot	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, Gebiete sind ja offen, also gibt es so eine Kreisscheibe. Dann könnte man den Weg ja z.B. so abändern, dass man, anstatt direkt durch den Punkt zu gehen, entlang der Kreisbahn der Kreisscheibe am Punkt vorbei geht. Langt das als Beweis, das einfach so hinzuschreiben, oder sollte man das etwas "mathematischer" formulieren...?
29.05.2017, 15:05	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, das wäre eine Idee. Für eine Abgabe würde ich es schon etwas formaler formulieren...
29.05.2017, 15:25	Plot	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie formuliert man denn sowas formal. Da G offen, existiert zu jedem $\begin{eqnarray} z_{0} \in G \end{eqnarray}$ eine Kreisscheibe, die ganz in G enthalten ist. Betrachte nun einen stetigen Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ in G, der die beiden Punkte $\begin{eqnarray} p,q\in G\setminus\{z_0\} \end{eqnarray}$ verbindet. Liegt der Punkt $\begin{eqnarray} z_{0} \end{eqnarray}$ nicht auf $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , ist nichts zu zeigen. Wenn schon, dann ändere $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ im Bereich der Kreisscheibe um $\begin{eqnarray} z_{0} \end{eqnarray}$ so, dass er auf der Sphäre der Kreisscheibe entlangläuft, bis er einen Punkt erreicht, auf dem er sich ursprünglich bewegen sollte. Ich weiß leider nicht, wie man es formaler formulieren kann...
30.05.2017, 06:32	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist eben immer wie formal es sein muss Im Prinzip müsstest du konkret den abgeänderten Weg hinschreiben. Da könnte man argumentieren, dass Dein ursprünglicher Weg $\begin{eqnarray} \gamma:[0,1]\to G \end{eqnarray}$ jede abgeschlossene, um $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ zentrierte, Kreisscheibe $\begin{eqnarray} B_r(z_0)\subset G \end{eqnarray}$ zum ersten Mal in einem Punkt Punkt $\begin{eqnarray} \gamma(t_1) \end{eqnarray}$ und zum letzten Mal in einem Punkt $\begin{eqnarray} \gamma(t_2) \end{eqnarray}$ trifft, wobei Du durch eine entsprechende Wahl des Radius stets $\begin{eqnarray} 0<t_1<t_2<1 \end{eqnarray}$ sicherstellen kannst. Dann den abgeänderten Weg angeben.
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