x transzendent, dann auch x^k

30.05.2017, 09:49

forbin

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x transzendent, dann auch x^k

Hallo Leute,

ich komme gerade bei folgendem Beweis nicht weiter.
Ist x transzendent, so ist auch x^k transzendent (k ist natürliche Zahl).

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} <br /> x \text{ transzendent} \Leftrightarrow \nexists p(x)=\sum\limits_{z=0}^{n}a_{z}x^{z}=0. \end{eqnarray*}$

Nun betrachte ich ich:
$\begin{eqnarray*} p(x^{k})=\sum\limits_{z=0}^{n}a_{z}x^{kz} \end{eqnarray*}$ und arbeite mit vollständiger Induktion.

Behauptung:
Sei x transzendent. Dann:
$\begin{eqnarray*} \nexists p(x^{k})=\sum\limits_{z=0}^{n}a_{z}x^{kz}=0 \end{eqnarray*}$

Für k=1 erhalte ich ja das erste polynom. Die Aussage stimmt also, da x transzendent ist.

Wenn ich den Induktionsschritt gehe, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} p(x^{k+1})=\sum\limits_{z=0}^{n}a_{z}x^{k+1}= \sum\limits_{z=0}^{n}a_{z}x\cdot x^{k} \end{eqnarray*}$

Aber hier finde ich ja jetzt nichts zum ausklammern oder herausziehen... verwirrt

verwirrt

Ich stehe völlig auf dem Schlauch unglücklich

unglücklich

30.05.2017, 10:00

tatmas

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Hallo,

ich sehe nicht wie Induktion hier funktionieren soll.
Das einfachste dürfte hier ein Widerspruchsbeweis sein.

30.05.2017, 13:00

forbin

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OK.

Annahme: $\begin{eqnarray*} x^{k} \end{eqnarray*}$ nicht transzendent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt[k]{x^{k}} = x \text{ ebenfalls nicht transzendent} \end{eqnarray*}$

Ist das möglich?

30.05.2017, 13:31

tatmas

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Möglich ist es.
Was genau benutzt du um zu zeigen, dass die WUrzel einer algebraischen Zahl wieder algebraisch ist?

30.05.2017, 13:50

forbin

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Genau da hakt es nämlich leider unglücklich

unglücklich

Ich drehe mich wahrscheinlich im Kreis...

30.05.2017, 13:54

tatmas

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Da musst du halt jetzt einhaken und dir was überlegen.
Was heißt es denn genau, dass x^k algebraisch ist?

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30.05.2017, 13:56

forbin

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$\begin{eqnarray*} x^{k} \text{ algebraisch} \Leftrightarrow \exists p(x^{k}): p(x^{k}) = 0 \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Koeffizienten.

30.05.2017, 14:00

tatmas

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Schreib das Polynom doch mal aus.
Erkennst du was ?

30.05.2017, 14:10

forbin

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Das Polynom ist:
$\begin{eqnarray*} p(x) = \sum\limits_{z=0}^{n}a_{z}x^{z} = a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Gut, mir fällt auf, dass x in jeder Potenz bis einschließlich n vorkommt.
Aber ich sehe noch keinen Zusammenhang oder achte ich auf das Falsche?

30.05.2017, 14:15

tatmas

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Zitat:

Das Polynom ist: $\begin{eqnarray*} p(t) = \sum\limits_{z=0}^{n}a_{z}t^{z} = a_{0}+a_{1}t+...+a_{n}t^{n} \end{eqnarray*}$ .

Das ist erstmal das Polynom.
Wenn du jetzt x^k einsetzt wird das Polynom 0.

Siehst du dann ein Polynom, dass x als Nullstelle hat?

30.05.2017, 14:28

forbin

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$\begin{eqnarray*} p(t) = \sum\limits_{z=0}^{n}a_{z}t^{z} \end{eqnarray*}$
Sei nun $\begin{eqnarray*} t:=x^{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(x^{k}) = a_{0} + a_{1}x^{k}+a_{2}x^{2k}+...+a_{n}x^{nk} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Siehst du dann ein Polynom, dass x als Nullstelle hat?

Also, ich mache mir ja Gedanken darüber, aber ich komme nicht weiter.
Wenn ich annehme, dass dieses Polynom null wird (und damit x^k algebraisch ist), dann sagt mir das doch nicht, dass x als Nullstelle rausfällt, oder? traurig

traurig

30.05.2017, 14:32

tatmas

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Dein Edit gerade liefert den Hinweis.
Du musst bei Polynomen aufpassen was die Variable ist.
Kannst du das was da jetzt dasteht so umformen, dass es ein Polynom gibt das x als Nullstelle hat und damit eine Algebraizitätsgleichung für x liefert?

30.05.2017, 14:46

forbin

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Ich kann dir nichtmal sagen woran es hängt unglücklich

unglücklich

Das Polynom -so wie es jetzt da steht- soll ich umformen.
Ich weiß nicht worauf die hinauswillst mit der Bemerkung, ich sehe den Wald nicht,

30.05.2017, 14:50

tatmas

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Dann denk ein bisschen drüber nach. Erkenntnis kann man nicht erzwingen.
Ich empfehle generell die Lektüre dieses Texts zur Bearbeitung von Übingsaufgaben:
w w w .alt.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/uebungsblatt

30.05.2017, 19:13

forbin

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OK, danke!

31.05.2017, 08:32

forbin

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Übungsblatt habe ich abgegeben ohne diese Aufgabe, aber ich will jetzt nicht zwei Wochen auf die Besprechung warten.
Ich finde also ein polynom p(t)=0. t (also x^k) ist damit algebraisch.
Für ein polynom p(x) könnte ich ja die gleichen Koeffizienten nehmen.
Aber x ist ja fest gewählt.
Ich versteh das einfach net

31.05.2017, 08:49

tatmas

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Zitat:

Ich finde also ein polynom p(t)=0. t (also x^k) ist damit algebraisch.

Das ist falsch und genau hier liegt auch mMn dein Problem. Du verstehst die Notationen nicht bzw. verwendest sie falsch.
p(t) ist ein Polynom in der Variable t mit Nullstelle $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} p(x^k)=0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} p(t) \neq 0 \end{eqnarray*}$ weil p(t) nicht das Nullpolnom ist.
Und damit ist $\begin{eqnarray*} p(t^k) \end{eqnarray*}$ auch ein Polynom, auch in t, mit der sehr schönen Nullstelle x.

Mit deinen Bezeichnung hier ist p(x) kein Polynom sondern eine Zahl, denn x ist eine Zahl.

31.05.2017, 09:04

forbin

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Ich bin zu blöd das nachzuvollziehen.
Wieso ist x denn nulstelle?

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